Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58504 / 36142
↖ ↑ ↗
← N 62.535128°
W 19.313965°		 ← 140.86 m → N 62.535128°
W 19.311218°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
N 62.533861°
W 19.313965°		 ← 140.87 m →
19 843 m²		 N 62.533861°
W 19.311218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446353912353516 y=0.275745391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446353912353516 × 217)
    floor (0.446353912353516 × 131072)
    floor (58504.5)     		tx = 58504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275745391845703 × 217)
    floor (0.275745391845703 × 131072)
    floor (36142.5)     		ty = 36142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58504 / 36142 ti = "17/58504/36142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58504/36142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58504 ÷ 217
    58504 ÷ 131072     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36142 ÷ 217
    36142 ÷ 131072     		y = 0.275741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275741577148438 × 2 - 1) × π
    0.448516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40905722743193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40905722743193))-π/2
    2×atan(4.09209566938806)-π/2
    2×1.33112010362342-π/2
    2.66224020724683-1.57079632675     		φ = 1.09144388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09144388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.535128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58504 KachelY 36142 -0.33709228 1.09144388 -19.313965 62.535128
    Oben rechts KachelX + 1 58505 KachelY 36142 -0.33704434 1.09144388 -19.311218 62.535128
    Unten links KachelX 58504 KachelY + 1 36143 -0.33709228 1.09142177 -19.313965 62.533861
    Unten rechts KachelX + 1 58505 KachelY + 1 36143 -0.33704434 1.09142177 -19.311218 62.533861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09144388-1.09142177) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09144388-1.09142177) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(1.09144388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.46120470235866 × 6371000     		do = 140.863787509444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(1.09142177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461224320311036 × 6371000     		du = 140.869779337066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09144388)-sin(1.09142177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46120470235866-0.461224320311036)×R²
    abs(-0.33704434--0.33709228)×1.96179523760942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96179523760942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96179523760942e-05×40589641000000     		ar = 19842.8909494678m²