Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58504 / 36026
↖ ↑ ↗
← N 62.681707°
W 19.313965°		 ← 140.17 m → N 62.681707°
W 19.311218°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 62.680447°
W 19.313965°		 ← 140.18 m →
19 647 m²		 N 62.680447°
W 19.311218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446353912353516 y=0.274860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446353912353516 × 217)
    floor (0.446353912353516 × 131072)
    floor (58504.5)     		tx = 58504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274860382080078 × 217)
    floor (0.274860382080078 × 131072)
    floor (36026.5)     		ty = 36026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58504 / 36026 ti = "17/58504/36026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58504/36026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58504 ÷ 217
    58504 ÷ 131072     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36026 ÷ 217
    36026 ÷ 131072     		y = 0.274856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274856567382812 × 2 - 1) × π
    0.450286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41461790778786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41461790778786))-π/2
    2×atan(4.11491388900706)-π/2
    2×1.33239924996458-π/2
    2.66479849992916-1.57079632675     		φ = 1.09400217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09400217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.681707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58504 KachelY 36026 -0.33709228 1.09400217 -19.313965 62.681707
    Oben rechts KachelX + 1 58505 KachelY 36026 -0.33704434 1.09400217 -19.311218 62.681707
    Unten links KachelX 58504 KachelY + 1 36027 -0.33709228 1.09398017 -19.313965 62.680447
    Unten rechts KachelX + 1 58505 KachelY + 1 36027 -0.33704434 1.09398017 -19.311218 62.680447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09400217-1.09398017) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09400217-1.09398017) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(1.09400217) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458933240816392 × 6371000     		do = 140.170024687015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(1.09398017) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458952787061914 × 6371000     		du = 140.175994613518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09400217)-sin(1.09398017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458933240816392-0.458952787061914)×R²
    abs(-0.33704434--0.33709228)×1.95462455215845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95462455215845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95462455215845e-05×40589641000000     		ar = 19646.9293793202m²