Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58503 / 81535
↖ ↑ ↗
← S 40.176775°
W 19.316712°		 ← 233.36 m → S 40.176775°
W 19.313965°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 40.178873°
W 19.316712°		 ← 233.36 m →
54 459 m²		 S 40.178873°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446346282958984 y=0.622066497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446346282958984 × 217)
    floor (0.446346282958984 × 131072)
    floor (58503.5)     		tx = 58503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622066497802734 × 217)
    floor (0.622066497802734 × 131072)
    floor (81535.5)     		ty = 81535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58503 / 81535 ti = "17/58503/81535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58503/81535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58503 ÷ 217
    58503 ÷ 131072     		x = 0.446342468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81535 ÷ 217
    81535 ÷ 131072     		y = 0.622062683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446342468261719 × 2 - 1) × π
    -0.107315063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33714022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622062683105469 × 2 - 1) × π
    -0.244125366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.766942457021278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33714022} λ = -0.33714022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766942457021278))-π/2
    2×atan(0.464430917129578)-π/2
    2×0.434789661860505-π/2
    0.86957932372101-1.57079632675     		φ = -0.70121700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33714022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.316712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70121700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.176775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58503 KachelY 81535 -0.33714022 -0.70121700 -19.316712 -40.176775
    Oben rechts KachelX + 1 58504 KachelY 81535 -0.33709228 -0.70121700 -19.313965 -40.176775
    Unten links KachelX 58503 KachelY + 1 81536 -0.33714022 -0.70125363 -19.316712 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 58504 KachelY + 1 81536 -0.33709228 -0.70125363 -19.313965 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70121700--0.70125363) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70121700--0.70125363) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(-0.70121700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764057608153047 × 6371000     		do = 233.362860372621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(-0.70125363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 233.35564246459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70121700)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764057608153047-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.33709228--0.33714022)×2.36322846625114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36322846625114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36322846625114e-05×40589641000000     		ar = 54458.9855024788m²