Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58503 / 37546
↖ ↑ ↗
← N 60.702761°
W 19.316712°		 ← 149.46 m → N 60.702761°
W 19.313965°		 →
↑
149.46 m
↓
↑
149.46 m
↓
N 60.701417°
W 19.316712°		 ← 149.46 m →
22 339 m²		 N 60.701417°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446346282958984 y=0.286457061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446346282958984 × 217)
    floor (0.446346282958984 × 131072)
    floor (58503.5)     		tx = 58503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286457061767578 × 217)
    floor (0.286457061767578 × 131072)
    floor (37546.5)     		ty = 37546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58503 / 37546 ti = "17/58503/37546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58503/37546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58503 ÷ 217
    58503 ÷ 131072     		x = 0.446342468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37546 ÷ 217
    37546 ÷ 131072     		y = 0.286453247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446342468261719 × 2 - 1) × π
    -0.107315063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33714022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286453247070312 × 2 - 1) × π
    0.427093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34175382036537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33714022} λ = -0.33714022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34175382036537))-π/2
    2×atan(3.82574729854845)-π/2
    2×1.31512968098027-π/2
    2.63025936196055-1.57079632675     		φ = 1.05946304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33714022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.316712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05946304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.702761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58503 KachelY 37546 -0.33714022 1.05946304 -19.316712 60.702761
    Oben rechts KachelX + 1 58504 KachelY 37546 -0.33709228 1.05946304 -19.313965 60.702761
    Unten links KachelX 58503 KachelY + 1 37547 -0.33714022 1.05943958 -19.316712 60.701417
    Unten rechts KachelX + 1 58504 KachelY + 1 37547 -0.33709228 1.05943958 -19.313965 60.701417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05946304-1.05943958) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dl = 149.463659999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05946304-1.05943958) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dr = 149.463659999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(1.05946304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489340431360544 × 6371000     		do = 149.457163360115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(1.05943958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.489360890524186 × 6371000     		du = 149.463412115311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05946304)-sin(1.05943958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489340431360544-0.489360890524186)×R²
    abs(-0.33709228--0.33714022)×2.04591636427942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04591636427942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04591636427942e-05×40589641000000     		ar = 22338.8816311167m²