Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58503 / 28443
↖ ↑ ↗
← N 70.820325°
W 19.316712°		 ← 100.34 m → N 70.820325°
W 19.313965°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.819422°
W 19.316712°		 ← 100.35 m →
10 069 m²		 N 70.819422°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446346282958984 y=0.217006683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446346282958984 × 217)
    floor (0.446346282958984 × 131072)
    floor (58503.5)     		tx = 58503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217006683349609 × 217)
    floor (0.217006683349609 × 131072)
    floor (28443.5)     		ty = 28443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58503 / 28443 ti = "17/58503/28443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58503/28443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58503 ÷ 217
    58503 ÷ 131072     		x = 0.446342468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28443 ÷ 217
    28443 ÷ 131072     		y = 0.217002868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446342468261719 × 2 - 1) × π
    -0.107315063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33714022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217002868652344 × 2 - 1) × π
    0.565994262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.77812341760674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33714022} λ = -0.33714022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77812341760674))-π/2
    2×atan(5.91873898909026)-π/2
    2×1.40342208214229-π/2
    2.80684416428457-1.57079632675     		φ = 1.23604784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33714022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.316712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23604784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.820325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58503 KachelY 28443 -0.33714022 1.23604784 -19.316712 70.820325
    Oben rechts KachelX + 1 58504 KachelY 28443 -0.33709228 1.23604784 -19.313965 70.820325
    Unten links KachelX 58503 KachelY + 1 28444 -0.33714022 1.23603209 -19.316712 70.819422
    Unten rechts KachelX + 1 58504 KachelY + 1 28444 -0.33709228 1.23603209 -19.313965 70.819422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23604784-1.23603209) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23604784-1.23603209) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(1.23604784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328531627813712 × 6371000     		do = 100.342015538342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33714022--0.33709228) × cos(1.23603209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328546503537234 × 6371000     		du = 100.346558967207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23604784)-sin(1.23603209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328531627813712-0.328546503537234)×R²
    abs(-0.33709228--0.33714022)×1.48757235216013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48757235216013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48757235216013e-05×40589641000000     		ar = 10068.8719020475m²