Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58502 / 37539
↖ ↑ ↗
← N 60.712167°
W 19.319458°		 ← 149.38 m → N 60.712167°
W 19.316712°		 →
↑
149.40 m
↓
↑
149.40 m
↓
N 60.710823°
W 19.319458°		 ← 149.39 m →
22 318 m²		 N 60.710823°
W 19.316712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446338653564453 y=0.286403656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446338653564453 × 217)
    floor (0.446338653564453 × 131072)
    floor (58502.5)     		tx = 58502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286403656005859 × 217)
    floor (0.286403656005859 × 131072)
    floor (37539.5)     		ty = 37539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58502 / 37539 ti = "17/58502/37539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58502/37539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58502 ÷ 217
    58502 ÷ 131072     		x = 0.446334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37539 ÷ 217
    37539 ÷ 131072     		y = 0.286399841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446334838867188 × 2 - 1) × π
    -0.107330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33718815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286399841308594 × 2 - 1) × π
    0.427200317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.34208937866271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33718815} λ = -0.33718815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34208937866271))-π/2
    2×atan(3.82703127521047)-π/2
    2×1.31521177008981-π/2
    2.63042354017963-1.57079632675     		φ = 1.05962721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33718815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.319458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05962721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.712167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58502 KachelY 37539 -0.33718815 1.05962721 -19.319458 60.712167
    Oben rechts KachelX + 1 58503 KachelY 37539 -0.33714022 1.05962721 -19.316712 60.712167
    Unten links KachelX 58502 KachelY + 1 37540 -0.33718815 1.05960376 -19.319458 60.710823
    Unten rechts KachelX + 1 58503 KachelY + 1 37540 -0.33714022 1.05960376 -19.316712 60.710823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05962721-1.05960376) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dl = 149.399950000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05962721-1.05960376) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dr = 149.399950000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33718815--0.33714022) × cos(1.05962721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4891972532834 × 6371000     		do = 149.382266333135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33718815--0.33714022) × cos(1.05960376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.489217705609849 × 6371000     		du = 149.388511697057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05962721)-sin(1.05960376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4891972532834-0.489217705609849)×R²
    abs(-0.33714022--0.33718815)×2.04523264490941e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04523264490941e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04523264490941e-05×40589641000000     		ar = 22318.1696507756m²