Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58502 / 28442
↖ ↑ ↗
← N 70.821227°
W 19.319458°		 ← 100.32 m → N 70.821227°
W 19.316712°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.820325°
W 19.319458°		 ← 100.32 m →
10 066 m²		 N 70.820325°
W 19.316712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446338653564453 y=0.216999053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446338653564453 × 217)
    floor (0.446338653564453 × 131072)
    floor (58502.5)     		tx = 58502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216999053955078 × 217)
    floor (0.216999053955078 × 131072)
    floor (28442.5)     		ty = 28442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58502 / 28442 ti = "17/58502/28442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58502/28442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58502 ÷ 217
    58502 ÷ 131072     		x = 0.446334838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28442 ÷ 217
    28442 ÷ 131072     		y = 0.216995239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446334838867188 × 2 - 1) × π
    -0.107330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33718815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216995239257812 × 2 - 1) × π
    0.566009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77817135450636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33718815} λ = -0.33718815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77817135450636))-π/2
    2×atan(5.91902272188764)-π/2
    2×1.40342995635792-π/2
    2.80685991271584-1.57079632675     		φ = 1.23606359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33718815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.319458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23606359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.821227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58502 KachelY 28442 -0.33718815 1.23606359 -19.319458 70.821227
    Oben rechts KachelX + 1 58503 KachelY 28442 -0.33714022 1.23606359 -19.316712 70.821227
    Unten links KachelX 58502 KachelY + 1 28443 -0.33718815 1.23604784 -19.319458 70.820325
    Unten rechts KachelX + 1 58503 KachelY + 1 28443 -0.33714022 1.23604784 -19.316712 70.820325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23606359-1.23604784) × R
    1.57500000002031e-05 × 6371000     		dl = 100.343250001294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23606359-1.23604784) × R
    1.57500000002031e-05 × 6371000     		dr = 100.343250001294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33718815--0.33714022) × cos(1.23606359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328516752008694 × 6371000     		do = 100.316542282443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33718815--0.33714022) × cos(1.23604784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328531627813712 × 6371000     		du = 100.321084788461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23606359)-sin(1.23604784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328516752008694-0.328531627813712)×R²
    abs(-0.33714022--0.33718815)×1.4875805018133e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4875805018133e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4875805018133e-05×40589641000000     		ar = 10066.3157865314m²