Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58501 / 28441
↖ ↑ ↗
← N 70.822129°
W 19.322205°		 ← 100.33 m → N 70.822129°
W 19.319458°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
N 70.821227°
W 19.322205°		 ← 100.34 m →
10 062 m²		 N 70.821227°
W 19.319458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446331024169922 y=0.216991424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446331024169922 × 217)
    floor (0.446331024169922 × 131072)
    floor (58501.5)     		tx = 58501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216991424560547 × 217)
    floor (0.216991424560547 × 131072)
    floor (28441.5)     		ty = 28441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58501 / 28441 ti = "17/58501/28441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58501/28441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58501 ÷ 217
    58501 ÷ 131072     		x = 0.446327209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28441 ÷ 217
    28441 ÷ 131072     		y = 0.216987609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446327209472656 × 2 - 1) × π
    -0.107345581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33723609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216987609863281 × 2 - 1) × π
    0.566024780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.77821929140598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33723609} λ = -0.33723609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77821929140598))-π/2
    2×atan(5.91930646828662)-π/2
    2×1.40343783021704-π/2
    2.80687566043408-1.57079632675     		φ = 1.23607933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33723609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.322205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23607933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.822129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58501 KachelY 28441 -0.33723609 1.23607933 -19.322205 70.822129
    Oben rechts KachelX + 1 58502 KachelY 28441 -0.33718815 1.23607933 -19.319458 70.822129
    Unten links KachelX 58501 KachelY + 1 28442 -0.33723609 1.23606359 -19.322205 70.821227
    Unten rechts KachelX + 1 58502 KachelY + 1 28442 -0.33718815 1.23606359 -19.319458 70.821227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23607933-1.23606359) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dl = 100.279539998852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23607933-1.23606359) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dr = 100.279539998852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33723609--0.33718815) × cos(1.23607933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328501885567217 × 6371000     		do = 100.332931490697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33723609--0.33718815) × cos(1.23606359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328516752008694 × 6371000     		du = 100.337472084586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23607933)-sin(1.23606359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328501885567217-0.328516752008694)×R²
    abs(-0.33718815--0.33723609)×1.48664414773014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48664414773014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48664414773014e-05×40589641000000     		ar = 10061.5678812785m²