Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58500 / 36206
↖ ↑ ↗
← N 62.453947°
W 19.324951°		 ← 141.25 m → N 62.453947°
W 19.322205°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
N 62.452676°
W 19.324951°		 ← 141.25 m →
19 951 m²		 N 62.452676°
W 19.322205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446323394775391 y=0.276233673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446323394775391 × 217)
    floor (0.446323394775391 × 131072)
    floor (58500.5)     		tx = 58500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276233673095703 × 217)
    floor (0.276233673095703 × 131072)
    floor (36206.5)     		ty = 36206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58500 / 36206 ti = "17/58500/36206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58500/36206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58500 ÷ 217
    58500 ÷ 131072     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36206 ÷ 217
    36206 ÷ 131072     		y = 0.276229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276229858398438 × 2 - 1) × π
    0.447540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40598926585625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40598926585625))-π/2
    2×atan(4.07956051562754)-π/2
    2×1.33041166088994-π/2
    2.66082332177989-1.57079632675     		φ = 1.09002700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09002700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.453947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58500 KachelY 36206 -0.33728403 1.09002700 -19.324951 62.453947
    Oben rechts KachelX + 1 58501 KachelY 36206 -0.33723609 1.09002700 -19.322205 62.453947
    Unten links KachelX 58500 KachelY + 1 36207 -0.33728403 1.09000483 -19.324951 62.452676
    Unten rechts KachelX + 1 58501 KachelY + 1 36207 -0.33723609 1.09000483 -19.322205 62.452676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09002700-1.09000483) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dl = 141.245070000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09002700-1.09000483) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dr = 141.245070000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33723609) × cos(1.09002700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.462461427780038 × 6371000     		do = 141.247623801245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33723609) × cos(1.09000483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.462481084461909 × 6371000     		du = 141.253627457852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09002700)-sin(1.09000483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462461427780038-0.462481084461909)×R²
    abs(-0.33723609--0.33728403)×1.96566818717603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96566818717603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96566818717603e-05×40589641000000     		ar = 19950.9545053513m²