Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 585 / 441
↖ ↑ ↗
← N 24.206890°
E 25.664062°		 ← 35.655 km → N 24.206890°
E 26.015625°		 →
↑
35.699 km
↓
↑
35.699 km
↓
N 23.885838°
E 25.664062°		 ← 35.744 km →
1 274.44 km²		 N 23.885838°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57177734375 y=0.43115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57177734375 × 210)
    floor (0.57177734375 × 1024)
    floor (585.5)     		tx = 585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43115234375 × 210)
    floor (0.43115234375 × 1024)
    floor (441.5)     		ty = 441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 585 / 441 ti = "10/585/441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/585/441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 585 ÷ 210
    585 ÷ 1024     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 441 ÷ 210
    441 ÷ 1024     		y = 0.4306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43565054374707))-π/2
    2×atan(1.54596845199942)-π/2
    2×0.996643126180616-π/2
    1.99328625236123-1.57079632675     		φ = 0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 585 KachelY 441 0.44792239 0.42248993 25.664062 24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 586 KachelY 441 0.45405831 0.42248993 26.015625 24.206890
    Unten links KachelX 585 KachelY + 1 442 0.44792239 0.41688651 25.664062 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 586 KachelY + 1 442 0.45405831 0.41688651 26.015625 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42248993-0.41688651) × R
    0.00560342000000003 × 6371000     		dl = 35699.3888200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42248993-0.41688651) × R
    0.00560342000000003 × 6371000     		dr = 35699.3888200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.45405831) × cos(0.42248993) × R
    0.00613592000000002 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 35654.6233758176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.45405831) × cos(0.41688651) × R
    0.00613592000000002 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 35743.8802491931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42248993)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.91435407069783)×R²
    abs(0.45405831-0.44792239)×0.00228325478207003×R²
    0.00613592000000002×0.00228325478207003×6371000²
    0.00613592000000002×0.00228325478207003×40589641000000     		ar = 1274444805.65783m²