Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58499 / 81529
↖ ↑ ↗
← S 40.164182°
W 19.327698°		 ← 233.36 m → S 40.164182°
W 19.324951°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.166281°
W 19.327698°		 ← 233.35 m →
54 473 m²		 S 40.166281°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446315765380859 y=0.622020721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446315765380859 × 217)
    floor (0.446315765380859 × 131072)
    floor (58499.5)     		tx = 58499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622020721435547 × 217)
    floor (0.622020721435547 × 131072)
    floor (81529.5)     		ty = 81529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58499 / 81529 ti = "17/58499/81529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58499/81529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58499 ÷ 217
    58499 ÷ 131072     		x = 0.446311950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81529 ÷ 217
    81529 ÷ 131072     		y = 0.622016906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446311950683594 × 2 - 1) × π
    -0.107376098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33733196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622016906738281 × 2 - 1) × π
    -0.244033813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.766654835623558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33733196} λ = -0.33733196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766654835623558))-π/2
    2×atan(0.464564516611221)-π/2
    2×0.434899551713109-π/2
    0.869799103426218-1.57079632675     		φ = -0.70099722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33733196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.327698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70099722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.164182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58499 KachelY 81529 -0.33733196 -0.70099722 -19.327698 -40.164182
    Oben rechts KachelX + 1 58500 KachelY 81529 -0.33728403 -0.70099722 -19.324951 -40.164182
    Unten links KachelX 58499 KachelY + 1 81530 -0.33733196 -0.70103386 -19.327698 -40.166281
    Unten rechts KachelX + 1 58500 KachelY + 1 81530 -0.33728403 -0.70103386 -19.324951 -40.166281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70099722--0.70103386) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70099722--0.70103386) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(-0.70099722) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.764199380331142 × 6371000     		do = 233.357474102532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(-0.70103386) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.764175747747951 × 6371000     		du = 233.350257608955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70099722)-sin(-0.70103386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764199380331142-0.764175747747951)×R²
    abs(-0.33728403--0.33733196)×2.36325831903805e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36325831903805e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36325831903805e-05×40589641000000     		ar = 54472.5956501717m²