Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58499 / 37511
↖ ↑ ↗
← N 60.749767°
W 19.327698°		 ← 149.21 m → N 60.749767°
W 19.324951°		 →
↑
149.27 m
↓
↑
149.27 m
↓
N 60.748424°
W 19.327698°		 ← 149.21 m →
22 273 m²		 N 60.748424°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446315765380859 y=0.286190032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446315765380859 × 217)
    floor (0.446315765380859 × 131072)
    floor (58499.5)     		tx = 58499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286190032958984 × 217)
    floor (0.286190032958984 × 131072)
    floor (37511.5)     		ty = 37511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58499 / 37511 ti = "17/58499/37511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58499/37511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58499 ÷ 217
    58499 ÷ 131072     		x = 0.446311950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37511 ÷ 217
    37511 ÷ 131072     		y = 0.286186218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446311950683594 × 2 - 1) × π
    -0.107376098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33733196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286186218261719 × 2 - 1) × π
    0.427627563476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.34343161185207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33733196} λ = -0.33733196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34343161185207))-π/2
    2×atan(3.8321714925182)-π/2
    2×1.31553988636528-π/2
    2.63107977273055-1.57079632675     		φ = 1.06028345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33733196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.327698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06028345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.749767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58499 KachelY 37511 -0.33733196 1.06028345 -19.327698 60.749767
    Oben rechts KachelX + 1 58500 KachelY 37511 -0.33728403 1.06028345 -19.324951 60.749767
    Unten links KachelX 58499 KachelY + 1 37512 -0.33733196 1.06026002 -19.327698 60.748424
    Unten rechts KachelX + 1 58500 KachelY + 1 37512 -0.33728403 1.06026002 -19.324951 60.748424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06028345-1.06026002) × R
    2.34299999999354e-05 × 6371000     		dl = 149.272529999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06028345-1.06026002) × R
    2.34299999999354e-05 × 6371000     		dr = 149.272529999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(1.06028345) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.488624793063423 × 6371000     		do = 149.207458718095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(1.06026002) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.488645235464146 × 6371000     		du = 149.213701051078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06028345)-sin(1.06026002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488624793063423-0.488645235464146)×R²
    abs(-0.33728403--0.33733196)×2.04424007230197e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04424007230197e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04424007230197e-05×40589641000000     		ar = 22273.0407630228m²