Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58499 / 36204
↖ ↑ ↗
← N 62.456487°
W 19.327698°		 ← 141.21 m → N 62.456487°
W 19.324951°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
N 62.455216°
W 19.327698°		 ← 141.21 m →
19 945 m²		 N 62.455216°
W 19.324951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446315765380859 y=0.276218414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446315765380859 × 217)
    floor (0.446315765380859 × 131072)
    floor (58499.5)     		tx = 58499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276218414306641 × 217)
    floor (0.276218414306641 × 131072)
    floor (36204.5)     		ty = 36204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58499 / 36204 ti = "17/58499/36204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58499/36204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58499 ÷ 217
    58499 ÷ 131072     		x = 0.446311950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36204 ÷ 217
    36204 ÷ 131072     		y = 0.276214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446311950683594 × 2 - 1) × π
    -0.107376098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33733196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276214599609375 × 2 - 1) × π
    0.44757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40608513965549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33733196} λ = -0.33733196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40608513965549))-π/2
    2×atan(4.07995165734322)-π/2
    2×1.33043382891498-π/2
    2.66086765782995-1.57079632675     		φ = 1.09007133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33733196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.327698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09007133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.456487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58499 KachelY 36204 -0.33733196 1.09007133 -19.327698 62.456487
    Oben rechts KachelX + 1 58500 KachelY 36204 -0.33728403 1.09007133 -19.324951 62.456487
    Unten links KachelX 58499 KachelY + 1 36205 -0.33733196 1.09004916 -19.327698 62.455216
    Unten rechts KachelX + 1 58500 KachelY + 1 36205 -0.33728403 1.09004916 -19.324951 62.455216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09007133-1.09004916) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dl = 141.245070000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09007133-1.09004916) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dr = 141.245070000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(1.09007133) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.462422122600991 × 6371000     		do = 141.20615807427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33733196--0.33728403) × cos(1.09004916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.462441779737359 × 6371000     		du = 141.212160617336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09007133)-sin(1.09004916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462422122600991-0.462441779737359)×R²
    abs(-0.33728403--0.33733196)×1.96571363673681e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96571363673681e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96571363673681e-05×40589641000000     		ar = 19945.0975972865m²