Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58497 / 37512
↖ ↑ ↗
← N 60.748424°
W 19.333191°		 ← 149.24 m → N 60.748424°
W 19.330444°		 →
↑
149.21 m
↓
↑
149.21 m
↓
N 60.747082°
W 19.333191°		 ← 149.25 m →
22 269 m²		 N 60.747082°
W 19.330444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446300506591797 y=0.286197662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446300506591797 × 217)
    floor (0.446300506591797 × 131072)
    floor (58497.5)     		tx = 58497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286197662353516 × 217)
    floor (0.286197662353516 × 131072)
    floor (37512.5)     		ty = 37512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58497 / 37512 ti = "17/58497/37512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58497/37512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58497 ÷ 217
    58497 ÷ 131072     		x = 0.446296691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37512 ÷ 217
    37512 ÷ 131072     		y = 0.28619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446296691894531 × 2 - 1) × π
    -0.107406616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33742784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28619384765625 × 2 - 1) × π
    0.4276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34338367495245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33742784} λ = -0.33742784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34338367495245))-π/2
    2×atan(3.83198779450103)-π/2
    2×1.31552817454144-π/2
    2.63105634908289-1.57079632675     		φ = 1.06026002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33742784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.333191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06026002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.748424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58497 KachelY 37512 -0.33742784 1.06026002 -19.333191 60.748424
    Oben rechts KachelX + 1 58498 KachelY 37512 -0.33737990 1.06026002 -19.330444 60.748424
    Unten links KachelX 58497 KachelY + 1 37513 -0.33742784 1.06023660 -19.333191 60.747082
    Unten rechts KachelX + 1 58498 KachelY + 1 37513 -0.33737990 1.06023660 -19.330444 60.747082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06026002-1.06023660) × R
    2.34199999999962e-05 × 6371000     		dl = 149.208819999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06026002-1.06023660) × R
    2.34199999999962e-05 × 6371000     		dr = 149.208819999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33742784--0.33737990) × cos(1.06026002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.488645235464146 × 6371000     		do = 149.244832639013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33742784--0.33737990) × cos(1.06023660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.488665668871908 × 6371000     		du = 149.2510735277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06026002)-sin(1.06023660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488645235464146-0.488665668871908)×R²
    abs(-0.33737990--0.33742784)×2.04334077626989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04334077626989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04334077626989e-05×40589641000000     		ar = 22269.1109680702m²