Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58497 / 36205
↖ ↑ ↗
← N 62.455216°
W 19.333191°		 ← 141.24 m → N 62.455216°
W 19.330444°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
N 62.453947°
W 19.333191°		 ← 141.25 m →
19 941 m²		 N 62.453947°
W 19.330444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446300506591797 y=0.276226043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446300506591797 × 217)
    floor (0.446300506591797 × 131072)
    floor (58497.5)     		tx = 58497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276226043701172 × 217)
    floor (0.276226043701172 × 131072)
    floor (36205.5)     		ty = 36205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58497 / 36205 ti = "17/58497/36205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58497/36205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58497 ÷ 217
    58497 ÷ 131072     		x = 0.446296691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36205 ÷ 217
    36205 ÷ 131072     		y = 0.276222229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446296691894531 × 2 - 1) × π
    -0.107406616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33742784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276222229003906 × 2 - 1) × π
    0.447555541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.40603720275587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33742784} λ = -0.33742784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40603720275587))-π/2
    2×atan(4.07975608179785)-π/2
    2×1.33042274513801-π/2
    2.66084549027602-1.57079632675     		φ = 1.09004916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33742784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.333191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09004916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.455216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58497 KachelY 36205 -0.33742784 1.09004916 -19.333191 62.455216
    Oben rechts KachelX + 1 58498 KachelY 36205 -0.33737990 1.09004916 -19.330444 62.455216
    Unten links KachelX 58497 KachelY + 1 36206 -0.33742784 1.09002700 -19.333191 62.453947
    Unten rechts KachelX + 1 58498 KachelY + 1 36206 -0.33737990 1.09002700 -19.330444 62.453947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09004916-1.09002700) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09004916-1.09002700) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33742784--0.33737990) × cos(1.09004916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462441779737359 × 6371000     		do = 141.241622783107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33742784--0.33737990) × cos(1.09002700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462461427780038 × 6371000     		du = 141.247623801082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09004916)-sin(1.09002700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462441779737359-0.462461427780038)×R²
    abs(-0.33737990--0.33742784)×1.96480426790657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96480426790657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96480426790657e-05×40589641000000     		ar = 19941.1080098093m²