Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58496 / 39041
↖ ↑ ↗
← N 58.629787°
W 19.335937°		 ← 158.96 m → N 58.629787°
W 19.333191°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.628357°
W 19.335937°		 ← 158.97 m →
25 268 m²		 N 58.628357°
W 19.333191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446292877197266 y=0.297863006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446292877197266 × 217)
    floor (0.446292877197266 × 131072)
    floor (58496.5)     		tx = 58496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297863006591797 × 217)
    floor (0.297863006591797 × 131072)
    floor (39041.5)     		ty = 39041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58496 / 39041 ti = "17/58496/39041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58496/39041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58496 ÷ 217
    58496 ÷ 131072     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39041 ÷ 217
    39041 ÷ 131072     		y = 0.297859191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297859191894531 × 2 - 1) × π
    0.404281616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27008815543339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27008815543339))-π/2
    2×atan(3.56116648469316)-π/2
    2×1.29703957392659-π/2
    2.59407914785318-1.57079632675     		φ = 1.02328282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02328282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.629787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58496 KachelY 39041 -0.33747577 1.02328282 -19.335937 58.629787
    Oben rechts KachelX + 1 58497 KachelY 39041 -0.33742784 1.02328282 -19.333191 58.629787
    Unten links KachelX 58496 KachelY + 1 39042 -0.33747577 1.02325787 -19.335937 58.628357
    Unten rechts KachelX + 1 58497 KachelY + 1 39042 -0.33742784 1.02325787 -19.333191 58.628357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02328282-1.02325787) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02328282-1.02325787) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33742784) × cos(1.02328282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.520565818888837 × 6371000     		do = 158.961035204605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33742784) × cos(1.02325787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.520587121574319 × 6371000     		du = 158.967540235888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02328282)-sin(1.02325787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520565818888837-0.520587121574319)×R²
    abs(-0.33742784--0.33747577)×2.13026854821718e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13026854821718e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13026854821718e-05×40589641000000     		ar = 25268.3988541057m²