Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58494 / 81522
↖ ↑ ↗
← S 40.149488°
W 19.341431°		 ← 233.46 m → S 40.149488°
W 19.338684°		 →
↑
233.43 m
↓
↑
233.43 m
↓
S 40.151587°
W 19.341431°		 ← 233.45 m →
54 496 m²		 S 40.151587°
W 19.338684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446277618408203 y=0.621967315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446277618408203 × 217)
    floor (0.446277618408203 × 131072)
    floor (58494.5)     		tx = 58494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621967315673828 × 217)
    floor (0.621967315673828 × 131072)
    floor (81522.5)     		ty = 81522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58494 / 81522 ti = "17/58494/81522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58494/81522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58494 ÷ 217
    58494 ÷ 131072     		x = 0.446273803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81522 ÷ 217
    81522 ÷ 131072     		y = 0.621963500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446273803710938 × 2 - 1) × π
    -0.107452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33757165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621963500976562 × 2 - 1) × π
    -0.243927001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.766319277326218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33757165} λ = -0.33757165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766319277326218))-π/2
    2×atan(0.464720431247182)-π/2
    2×0.435027782308657-π/2
    0.870055564617315-1.57079632675     		φ = -0.70074076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33757165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.341431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70074076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.149488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58494 KachelY 81522 -0.33757165 -0.70074076 -19.341431 -40.149488
    Oben rechts KachelX + 1 58495 KachelY 81522 -0.33752371 -0.70074076 -19.338684 -40.149488
    Unten links KachelX 58494 KachelY + 1 81523 -0.33757165 -0.70077740 -19.341431 -40.151587
    Unten rechts KachelX + 1 58495 KachelY + 1 81523 -0.33752371 -0.70077740 -19.338684 -40.151587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70074076--0.70077740) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dl = 233.433440000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70074076--0.70077740) × R
    3.66400000000322e-05 × 6371000     		dr = 233.433440000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.70074076) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764364766789984 × 6371000     		do = 233.456674526875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.70077740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764341141388408 × 6371000     		du = 233.449458721116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70074076)-sin(-0.70077740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764364766789984-0.764341141388408)×R²
    abs(-0.33752371--0.33757165)×2.36254015761883e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36254015761883e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36254015761883e-05×40589641000000     		ar = 54495.7524268704m²