Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58494 / 28402
↖ ↑ ↗
← N 70.857286°
W 19.341431°		 ← 100.16 m → N 70.857286°
W 19.338684°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
N 70.856385°
W 19.341431°		 ← 100.16 m →
10 031 m²		 N 70.856385°
W 19.338684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446277618408203 y=0.216693878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446277618408203 × 217)
    floor (0.446277618408203 × 131072)
    floor (58494.5)     		tx = 58494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216693878173828 × 217)
    floor (0.216693878173828 × 131072)
    floor (28402.5)     		ty = 28402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58494 / 28402 ti = "17/58494/28402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58494/28402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58494 ÷ 217
    58494 ÷ 131072     		x = 0.446273803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28402 ÷ 217
    28402 ÷ 131072     		y = 0.216690063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446273803710938 × 2 - 1) × π
    -0.107452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33757165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216690063476562 × 2 - 1) × π
    0.566619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78008883049117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33757165} λ = -0.33757165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78008883049117))-π/2
    2×atan(5.93038319404586)-π/2
    2×1.40374463279831-π/2
    2.80748926559663-1.57079632675     		φ = 1.23669294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33757165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.341431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23669294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.857286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58494 KachelY 28402 -0.33757165 1.23669294 -19.341431 70.857286
    Oben rechts KachelX + 1 58495 KachelY 28402 -0.33752371 1.23669294 -19.338684 70.857286
    Unten links KachelX 58494 KachelY + 1 28403 -0.33757165 1.23667722 -19.341431 70.856385
    Unten rechts KachelX + 1 58495 KachelY + 1 28403 -0.33752371 1.23667722 -19.338684 70.856385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23669294-1.23667722) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dl = 100.152119999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23669294-1.23667722) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dr = 100.152119999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(1.23669294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327922267081442 × 6371000     		do = 100.155901085877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(1.23667722) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327937117798945 × 6371000     		du = 100.16043687726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23669294)-sin(1.23667722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327922267081442-0.327937117798945)×R²
    abs(-0.33752371--0.33757165)×1.48507175031787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48507175031787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48507175031787e-05×40589641000000     		ar = 10031.0529590607m²