Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58493 / 86210
↖ ↑ ↗
← S 49.271389°
W 19.344177°		 ← 199.24 m → S 49.271389°
W 19.341431°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
S 49.273181°
W 19.344177°		 ← 199.23 m →
39 705 m²		 S 49.273181°
W 19.341431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446269989013672 y=0.657733917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446269989013672 × 217)
    floor (0.446269989013672 × 131072)
    floor (58493.5)     		tx = 58493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657733917236328 × 217)
    floor (0.657733917236328 × 131072)
    floor (86210.5)     		ty = 86210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58493 / 86210 ti = "17/58493/86210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58493/86210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58493 ÷ 217
    58493 ÷ 131072     		x = 0.446266174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86210 ÷ 217
    86210 ÷ 131072     		y = 0.657730102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446266174316406 × 2 - 1) × π
    -0.107467651367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33761958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657730102539062 × 2 - 1) × π
    -0.315460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991047462745041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33761958} λ = -0.33761958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991047462745041))-π/2
    2×atan(0.371187682053043)-π/2
    2×0.355424182231787-π/2
    0.710848364463574-1.57079632675     		φ = -0.85994796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33761958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.344177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85994796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.271389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58493 KachelY 86210 -0.33761958 -0.85994796 -19.344177 -49.271389
    Oben rechts KachelX + 1 58494 KachelY 86210 -0.33757165 -0.85994796 -19.341431 -49.271389
    Unten links KachelX 58493 KachelY + 1 86211 -0.33761958 -0.85997924 -19.344177 -49.273181
    Unten rechts KachelX + 1 58494 KachelY + 1 86211 -0.33757165 -0.85997924 -19.341431 -49.273181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85994796--0.85997924) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85994796--0.85997924) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33761958--0.33757165) × cos(-0.85994796) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652476905407554 × 6371000     		do = 199.24167236326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33761958--0.33757165) × cos(-0.85997924) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652453200835063 × 6371000     		du = 199.234433886884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85994796)-sin(-0.85997924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652476905407554-0.652453200835063)×R²
    abs(-0.33757165--0.33761958)×2.37045724906793e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37045724906793e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37045724906793e-05×40589641000000     		ar = 39705.1315116939m²