Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58491 / 36218
↖ ↑ ↗
← N 62.438700°
W 19.349671°		 ← 141.32 m → N 62.438700°
W 19.346924°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
N 62.437429°
W 19.349671°		 ← 141.33 m →
19 970 m²		 N 62.437429°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446254730224609 y=0.276325225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446254730224609 × 217)
    floor (0.446254730224609 × 131072)
    floor (58491.5)     		tx = 58491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276325225830078 × 217)
    floor (0.276325225830078 × 131072)
    floor (36218.5)     		ty = 36218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58491 / 36218 ti = "17/58491/36218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58491/36218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58491 ÷ 217
    58491 ÷ 131072     		x = 0.446250915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36218 ÷ 217
    36218 ÷ 131072     		y = 0.276321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446250915527344 × 2 - 1) × π
    -0.107498168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33771546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276321411132812 × 2 - 1) × π
    0.447357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40541402306081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33771546} λ = -0.33771546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40541402306081))-π/2
    2×atan(4.07721445267496)-π/2
    2×1.33027861316151-π/2
    2.66055722632301-1.57079632675     		φ = 1.08976090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33771546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.349671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08976090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.438700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58491 KachelY 36218 -0.33771546 1.08976090 -19.349671 62.438700
    Oben rechts KachelX + 1 58492 KachelY 36218 -0.33766752 1.08976090 -19.346924 62.438700
    Unten links KachelX 58491 KachelY + 1 36219 -0.33771546 1.08973872 -19.349671 62.437429
    Unten rechts KachelX + 1 58492 KachelY + 1 36219 -0.33766752 1.08973872 -19.346924 62.437429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08976090-1.08973872) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dl = 141.30877999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08976090-1.08973872) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dr = 141.30877999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33771546--0.33766752) × cos(1.08976090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.462697346148657 × 6371000     		do = 141.319679343561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33771546--0.33766752) × cos(1.08973872) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.462717008966573 × 6371000     		du = 141.325684874273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08976090)-sin(1.08973872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462697346148657-0.462717008966573)×R²
    abs(-0.33766752--0.33771546)×1.96628179162661e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96628179162661e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96628179162661e-05×40589641000000     		ar = 19970.1357960029m²