Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58490 / 29567
↖ ↑ ↗
← N 69.779901°
W 19.352417°		 ← 105.54 m → N 69.779901°
W 19.349671°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
N 69.778952°
W 19.352417°		 ← 105.55 m →
11 142 m²		 N 69.778952°
W 19.349671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446247100830078 y=0.225582122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446247100830078 × 217)
    floor (0.446247100830078 × 131072)
    floor (58490.5)     		tx = 58490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225582122802734 × 217)
    floor (0.225582122802734 × 131072)
    floor (29567.5)     		ty = 29567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58490 / 29567 ti = "17/58490/29567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58490/29567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58490 ÷ 217
    58490 ÷ 131072     		x = 0.446243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29567 ÷ 217
    29567 ÷ 131072     		y = 0.225578308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446243286132812 × 2 - 1) × π
    -0.107513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33776339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225578308105469 × 2 - 1) × π
    0.548843383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7242423424338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33776339} λ = -0.33776339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7242423424338))-π/2
    2×atan(5.60827027118257)-π/2
    2×1.39434267627295-π/2
    2.7886853525459-1.57079632675     		φ = 1.21788903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33776339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.352417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21788903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.779901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58490 KachelY 29567 -0.33776339 1.21788903 -19.352417 69.779901
    Oben rechts KachelX + 1 58491 KachelY 29567 -0.33771546 1.21788903 -19.349671 69.779901
    Unten links KachelX 58490 KachelY + 1 29568 -0.33776339 1.21787246 -19.352417 69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 58491 KachelY + 1 29568 -0.33771546 1.21787246 -19.349671 69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21788903-1.21787246) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21788903-1.21787246) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(1.21788903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.345627389736091 × 6371000     		do = 105.541481353356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(1.21787246) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 105.546229358523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21788903)-sin(1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345627389736091-0.345642938510007)×R²
    abs(-0.33771546--0.33776339)×1.55487739162963e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.55487739162963e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.55487739162963e-05×40589641000000     		ar = 11141.997784175m²