Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58490 / 28396
↖ ↑ ↗
← N 70.862689°
W 19.352417°		 ← 100.11 m → N 70.862689°
W 19.349671°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.861789°
W 19.352417°		 ← 100.11 m →
10 020 m²		 N 70.861789°
W 19.349671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446247100830078 y=0.216648101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446247100830078 × 217)
    floor (0.446247100830078 × 131072)
    floor (58490.5)     		tx = 58490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216648101806641 × 217)
    floor (0.216648101806641 × 131072)
    floor (28396.5)     		ty = 28396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58490 / 28396 ti = "17/58490/28396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58490/28396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58490 ÷ 217
    58490 ÷ 131072     		x = 0.446243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28396 ÷ 217
    28396 ÷ 131072     		y = 0.216644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446243286132812 × 2 - 1) × π
    -0.107513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33776339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216644287109375 × 2 - 1) × π
    0.56671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33776339} λ = -0.33776339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78037645188889))-π/2
    2×atan(5.93208914447131)-π/2
    2×1.40379178512247-π/2
    2.80758357024493-1.57079632675     		φ = 1.23678724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33776339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.352417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23678724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.862689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58490 KachelY 28396 -0.33776339 1.23678724 -19.352417 70.862689
    Oben rechts KachelX + 1 58491 KachelY 28396 -0.33771546 1.23678724 -19.349671 70.862689
    Unten links KachelX 58490 KachelY + 1 28397 -0.33776339 1.23677153 -19.352417 70.861789
    Unten rechts KachelX + 1 58491 KachelY + 1 28397 -0.33771546 1.23677153 -19.349671 70.861789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23678724-1.23677153) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23678724-1.23677153) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(1.23678724) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.327833179969515 × 6371000     		do = 100.107805336792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(1.23677153) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.327848021725769 × 6371000     		du = 100.11233744561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23678724)-sin(1.23677153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327833179969515-0.327848021725769)×R²
    abs(-0.33771546--0.33776339)×1.48417562541581e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.48417562541581e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.48417562541581e-05×40589641000000     		ar = 10019.8578708499m²