Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58489 / 86200
↖ ↑ ↗
← S 49.253465°
W 19.355163°		 ← 199.36 m → S 49.253465°
W 19.352417°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
S 49.255258°
W 19.355163°		 ← 199.35 m →
39 741 m²		 S 49.255258°
W 19.352417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446239471435547 y=0.657657623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446239471435547 × 217)
    floor (0.446239471435547 × 131072)
    floor (58489.5)     		tx = 58489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657657623291016 × 217)
    floor (0.657657623291016 × 131072)
    floor (86200.5)     		ty = 86200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58489 / 86200 ti = "17/58489/86200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58489/86200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58489 ÷ 217
    58489 ÷ 131072     		x = 0.446235656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86200 ÷ 217
    86200 ÷ 131072     		y = 0.65765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446235656738281 × 2 - 1) × π
    -0.107528686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33781133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.3153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99056809374884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33781133} λ = -0.33781133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99056809374884))-π/2
    2×atan(0.371365660574876)-π/2
    2×0.355580599237487-π/2
    0.711161198474973-1.57079632675     		φ = -0.85963513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33781133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.355163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85963513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.253465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58489 KachelY 86200 -0.33781133 -0.85963513 -19.355163 -49.253465
    Oben rechts KachelX + 1 58490 KachelY 86200 -0.33776339 -0.85963513 -19.352417 -49.253465
    Unten links KachelX 58489 KachelY + 1 86201 -0.33781133 -0.85966642 -19.355163 -49.255258
    Unten rechts KachelX + 1 58490 KachelY + 1 86201 -0.33776339 -0.85966642 -19.352417 -49.255258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85963513--0.85966642) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85963513--0.85966642) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33781133--0.33776339) × cos(-0.85963513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652713938744302 × 6371000     		do = 199.355637749393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33781133--0.33776339) × cos(-0.85966642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652690232981304 × 6371000     		du = 199.348397399187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85963513)-sin(-0.85966642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652713938744302-0.652690232981304)×R²
    abs(-0.33776339--0.33781133)×2.37057629987047e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37057629987047e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37057629987047e-05×40589641000000     		ar = 39740.5436203558m²