Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58488 / 36247
↖ ↑ ↗
← N 62.401824°
W 19.357910°		 ← 141.49 m → N 62.401824°
W 19.355163°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 62.400551°
W 19.357910°		 ← 141.50 m →
20 022 m²		 N 62.400551°
W 19.355163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446231842041016 y=0.276546478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446231842041016 × 217)
    floor (0.446231842041016 × 131072)
    floor (58488.5)     		tx = 58488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276546478271484 × 217)
    floor (0.276546478271484 × 131072)
    floor (36247.5)     		ty = 36247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58488 / 36247 ti = "17/58488/36247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58488/36247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58488 ÷ 217
    58488 ÷ 131072     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36247 ÷ 217
    36247 ÷ 131072     		y = 0.276542663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276542663574219 × 2 - 1) × π
    0.446914672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.40402385297182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40402385297182))-π/2
    2×atan(4.07155036902851)-π/2
    2×1.32995680091665-π/2
    2.65991360183329-1.57079632675     		φ = 1.08911728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08911728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.401824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58488 KachelY 36247 -0.33785927 1.08911728 -19.357910 62.401824
    Oben rechts KachelX + 1 58489 KachelY 36247 -0.33781133 1.08911728 -19.355163 62.401824
    Unten links KachelX 58488 KachelY + 1 36248 -0.33785927 1.08909507 -19.357910 62.400551
    Unten rechts KachelX + 1 58489 KachelY + 1 36248 -0.33781133 1.08909507 -19.355163 62.400551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08911728-1.08909507) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08911728-1.08909507) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33781133) × cos(1.08911728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463267829900547 × 6371000     		do = 141.493919765476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33781133) × cos(1.08909507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46328751269526 × 6371000     		du = 141.499931397616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08911728)-sin(1.08909507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463267829900547-0.46328751269526)×R²
    abs(-0.33781133--0.33785927)×1.96827947129274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96827947129274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96827947129274e-05×40589641000000     		ar = 20021.8022358336m²