Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58488 / 28392
↖ ↑ ↗
← N 70.866291°
W 19.357910°		 ← 100.11 m → N 70.866291°
W 19.355163°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.865391°
W 19.357910°		 ← 100.12 m →
10 020 m²		 N 70.865391°
W 19.355163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446231842041016 y=0.216617584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446231842041016 × 217)
    floor (0.446231842041016 × 131072)
    floor (58488.5)     		tx = 58488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216617584228516 × 217)
    floor (0.216617584228516 × 131072)
    floor (28392.5)     		ty = 28392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58488 / 28392 ti = "17/58488/28392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58488/28392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58488 ÷ 217
    58488 ÷ 131072     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28392 ÷ 217
    28392 ÷ 131072     		y = 0.21661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21661376953125 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78056819948737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78056819948737))-π/2
    2×atan(5.93322671737869)-π/2
    2×1.40382321288795-π/2
    2.80764642577589-1.57079632675     		φ = 1.23685010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23685010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.866291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58488 KachelY 28392 -0.33785927 1.23685010 -19.357910 70.866291
    Oben rechts KachelX + 1 58489 KachelY 28392 -0.33781133 1.23685010 -19.355163 70.866291
    Unten links KachelX 58488 KachelY + 1 28393 -0.33785927 1.23683439 -19.357910 70.865391
    Unten rechts KachelX + 1 58489 KachelY + 1 28393 -0.33781133 1.23683439 -19.355163 70.865391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23685010-1.23683439) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23685010-1.23683439) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33781133) × cos(1.23685010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327773793240305 × 6371000     		do = 100.110553352961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33781133) × cos(1.23683439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327788635320282 × 6371000     		du = 100.115086506222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23685010)-sin(1.23683439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327773793240305-0.327788635320282)×R²
    abs(-0.33781133--0.33785927)×1.48420799774285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48420799774285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48420799774285e-05×40589641000000     		ar = 10020.1329675567m²