Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58487 / 36127
↖ ↑ ↗
← N 62.554123°
W 19.360657°		 ← 140.77 m → N 62.554123°
W 19.357910°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 62.552857°
W 19.360657°		 ← 140.78 m →
19 821 m²		 N 62.552857°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446224212646484 y=0.275630950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446224212646484 × 217)
    floor (0.446224212646484 × 131072)
    floor (58487.5)     		tx = 58487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275630950927734 × 217)
    floor (0.275630950927734 × 131072)
    floor (36127.5)     		ty = 36127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58487 / 36127 ti = "17/58487/36127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58487/36127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58487 ÷ 217
    58487 ÷ 131072     		x = 0.446220397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36127 ÷ 217
    36127 ÷ 131072     		y = 0.275627136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446220397949219 × 2 - 1) × π
    -0.107559204101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33790721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275627136230469 × 2 - 1) × π
    0.448745727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.40977628092623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33790721} λ = -0.33790721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40977628092623))-π/2
    2×atan(4.09503916321608)-π/2
    2×1.3312858661618-π/2
    2.6625717323236-1.57079632675     		φ = 1.09177541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33790721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.360657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09177541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.554123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58487 KachelY 36127 -0.33790721 1.09177541 -19.360657 62.554123
    Oben rechts KachelX + 1 58488 KachelY 36127 -0.33785927 1.09177541 -19.357910 62.554123
    Unten links KachelX 58487 KachelY + 1 36128 -0.33790721 1.09175331 -19.360657 62.552857
    Unten rechts KachelX + 1 58488 KachelY + 1 36128 -0.33785927 1.09175331 -19.357910 62.552857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09177541-1.09175331) × R
    2.20999999998028e-05 × 6371000     		dl = 140.799099998744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09177541-1.09175331) × R
    2.20999999998028e-05 × 6371000     		dr = 140.799099998744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33790721--0.33785927) × cos(1.09177541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.46091051251668 × 6371000     		do = 140.773934359257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33790721--0.33785927) × cos(1.09175331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.460930124974375 × 6371000     		du = 140.779924508662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09177541)-sin(1.09175331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46091051251668-0.460930124974375)×R²
    abs(-0.33785927--0.33790721)×1.96124576949952e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96124576949952e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96124576949952e-05×40589641000000     		ar = 19821.2649656821m²