Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58486 / 86453
↖ ↑ ↗
← S 49.704944°
W 19.363403°		 ← 197.48 m → S 49.704944°
W 19.360657°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.706720°
W 19.363403°		 ← 197.48 m →
39 003 m²		 S 49.706720°
W 19.360657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446216583251953 y=0.659587860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446216583251953 × 217)
    floor (0.446216583251953 × 131072)
    floor (58486.5)     		tx = 58486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659587860107422 × 217)
    floor (0.659587860107422 × 131072)
    floor (86453.5)     		ty = 86453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58486 / 86453 ti = "17/58486/86453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58486/86453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58486 ÷ 217
    58486 ÷ 131072     		x = 0.446212768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86453 ÷ 217
    86453 ÷ 131072     		y = 0.659584045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446212768554688 × 2 - 1) × π
    -0.107574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33795514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659584045410156 × 2 - 1) × π
    -0.319168090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.00269612935271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33795514} λ = -0.33795514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00269612935271))-π/2
    2×atan(0.366888926489707)-π/2
    2×0.351640699458348-π/2
    0.703281398916695-1.57079632675     		φ = -0.86751493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33795514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.363403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86751493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.704944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58486 KachelY 86453 -0.33795514 -0.86751493 -19.363403 -49.704944
    Oben rechts KachelX + 1 58487 KachelY 86453 -0.33790721 -0.86751493 -19.360657 -49.704944
    Unten links KachelX 58486 KachelY + 1 86454 -0.33795514 -0.86754593 -19.363403 -49.706720
    Unten rechts KachelX + 1 58487 KachelY + 1 86454 -0.33790721 -0.86754593 -19.360657 -49.706720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86751493--0.86754593) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86751493--0.86754593) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33795514--0.33790721) × cos(-0.86751493) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646723965110892 × 6371000     		do = 197.484942835803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33795514--0.33790721) × cos(-0.86754593) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		du = 197.477722624175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86751493)-sin(-0.86754593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646723965110892-0.646700320351821)×R²
    abs(-0.33790721--0.33795514)×2.36447590710176e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36447590710176e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36447590710176e-05×40589641000000     		ar = 39002.7606986813m²