Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58486 / 29680
↖ ↑ ↗
← N 69.672358°
W 19.363403°		 ← 106.08 m → N 69.672358°
W 19.360657°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 69.671404°
W 19.363403°		 ← 106.08 m →
11 253 m²		 N 69.671404°
W 19.360657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446216583251953 y=0.226444244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446216583251953 × 217)
    floor (0.446216583251953 × 131072)
    floor (58486.5)     		tx = 58486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226444244384766 × 217)
    floor (0.226444244384766 × 131072)
    floor (29680.5)     		ty = 29680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58486 / 29680 ti = "17/58486/29680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58486/29680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58486 ÷ 217
    58486 ÷ 131072     		x = 0.446212768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29680 ÷ 217
    29680 ÷ 131072     		y = 0.2264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446212768554688 × 2 - 1) × π
    -0.107574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33795514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2264404296875 × 2 - 1) × π
    0.547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71882547277673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33795514} λ = -0.33795514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71882547277673))-π/2
    2×atan(5.57797313402617)-π/2
    2×1.39340418437678-π/2
    2.78680836875355-1.57079632675     		φ = 1.21601204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33795514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.363403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21601204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.672358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58486 KachelY 29680 -0.33795514 1.21601204 -19.363403 69.672358
    Oben rechts KachelX + 1 58487 KachelY 29680 -0.33790721 1.21601204 -19.360657 69.672358
    Unten links KachelX 58486 KachelY + 1 29681 -0.33795514 1.21599539 -19.363403 69.671404
    Unten rechts KachelX + 1 58487 KachelY + 1 29681 -0.33790721 1.21599539 -19.360657 69.671404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21601204-1.21599539) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dl = 106.077150000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21601204-1.21599539) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dr = 106.077150000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33795514--0.33790721) × cos(1.21601204) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347388094420926 × 6371000     		do = 106.079133710148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33795514--0.33790721) × cos(1.21599539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347403707434863 × 6371000     		du = 106.083901331778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21601204)-sin(1.21599539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347388094420926-0.347403707434863)×R²
    abs(-0.33790721--0.33795514)×1.56130139372102e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.56130139372102e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.56130139372102e-05×40589641000000     		ar = 11252.8250465225m²