Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58485 / 29683
↖ ↑ ↗
← N 69.669495°
W 19.366150°		 ← 106.12 m → N 69.669495°
W 19.363403°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 69.668541°
W 19.366150°		 ← 106.12 m →
11 257 m²		 N 69.668541°
W 19.363403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446208953857422 y=0.226467132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446208953857422 × 217)
    floor (0.446208953857422 × 131072)
    floor (58485.5)     		tx = 58485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226467132568359 × 217)
    floor (0.226467132568359 × 131072)
    floor (29683.5)     		ty = 29683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58485 / 29683 ti = "17/58485/29683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58485/29683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58485 ÷ 217
    58485 ÷ 131072     		x = 0.446205139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29683 ÷ 217
    29683 ÷ 131072     		y = 0.226463317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446205139160156 × 2 - 1) × π
    -0.107589721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33800308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226463317871094 × 2 - 1) × π
    0.547073364257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71868166207787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33800308} λ = -0.33800308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71868166207787))-π/2
    2×atan(5.57717101948925)-π/2
    2×1.39337920363026-π/2
    2.78675840726051-1.57079632675     		φ = 1.21596208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33800308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.366150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21596208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.669495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58485 KachelY 29683 -0.33800308 1.21596208 -19.366150 69.669495
    Oben rechts KachelX + 1 58486 KachelY 29683 -0.33795514 1.21596208 -19.363403 69.669495
    Unten links KachelX 58485 KachelY + 1 29684 -0.33800308 1.21594543 -19.366150 69.668541
    Unten rechts KachelX + 1 58486 KachelY + 1 29684 -0.33795514 1.21594543 -19.363403 69.668541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21596208-1.21594543) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dl = 106.077149998983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21596208-1.21594543) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dr = 106.077149998983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33800308--0.33795514) × cos(1.21596208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34743494255085 × 6371000     		do = 106.115574430504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33800308--0.33795514) × cos(1.21594543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347450555275792 × 6371000     		du = 106.120342958573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21596208)-sin(1.21594543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34743494255085-0.347450555275792)×R²
    abs(-0.33795514--0.33800308)×1.5612724941827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5612724941827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5612724941827e-05×40589641000000     		ar = 11256.6906223211m²