Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58484 / 36060
↖ ↑ ↗
← N 62.638820°
W 19.368897°		 ← 140.37 m → N 62.638820°
W 19.366150°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
N 62.637557°
W 19.368897°		 ← 140.38 m →
19 711 m²		 N 62.637557°
W 19.366150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446201324462891 y=0.275119781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446201324462891 × 217)
    floor (0.446201324462891 × 131072)
    floor (58484.5)     		tx = 58484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275119781494141 × 217)
    floor (0.275119781494141 × 131072)
    floor (36060.5)     		ty = 36060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58484 / 36060 ti = "17/58484/36060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58484/36060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58484 ÷ 217
    58484 ÷ 131072     		x = 0.446197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36060 ÷ 217
    36060 ÷ 131072     		y = 0.275115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33805102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275115966796875 × 2 - 1) × π
    0.44976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41298805320078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33805102} λ = -0.33805102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41298805320078))-π/2
    2×atan(4.10821264024358)-π/2
    2×1.33202498185858-π/2
    2.66404996371715-1.57079632675     		φ = 1.09325364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33805102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.368897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09325364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.638820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58484 KachelY 36060 -0.33805102 1.09325364 -19.368897 62.638820
    Oben rechts KachelX + 1 58485 KachelY 36060 -0.33800308 1.09325364 -19.366150 62.638820
    Unten links KachelX 58484 KachelY + 1 36061 -0.33805102 1.09323160 -19.368897 62.637557
    Unten rechts KachelX + 1 58485 KachelY + 1 36061 -0.33800308 1.09323160 -19.366150 62.637557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09325364-1.09323160) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09325364-1.09323160) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33805102--0.33800308) × cos(1.09325364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459598159198189 × 6371000     		do = 140.373107875653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33805102--0.33800308) × cos(1.09323160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459617733405192 × 6371000     		du = 140.379086342311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09325364)-sin(1.09323160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459598159198189-0.459617733405192)×R²
    abs(-0.33800308--0.33805102)×1.95742070032701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95742070032701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95742070032701e-05×40589641000000     		ar = 19711.1679684639m²