Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58483 / 36061
↖ ↑ ↗
← N 62.637557°
W 19.371643°		 ← 140.35 m → N 62.637557°
W 19.368897°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
N 62.636294°
W 19.371643°		 ← 140.36 m →
19 699 m²		 N 62.636294°
W 19.368897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446193695068359 y=0.275127410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446193695068359 × 217)
    floor (0.446193695068359 × 131072)
    floor (58483.5)     		tx = 58483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275127410888672 × 217)
    floor (0.275127410888672 × 131072)
    floor (36061.5)     		ty = 36061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58483 / 36061 ti = "17/58483/36061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58483/36061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58483 ÷ 217
    58483 ÷ 131072     		x = 0.446189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36061 ÷ 217
    36061 ÷ 131072     		y = 0.275123596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446189880371094 × 2 - 1) × π
    -0.107620239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33809895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275123596191406 × 2 - 1) × π
    0.449752807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.41294011630116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33809895} λ = -0.33809895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41294011630116))-π/2
    2×atan(4.10801570998678)-π/2
    2×1.3320139657686-π/2
    2.6640279315372-1.57079632675     		φ = 1.09323160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33809895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.371643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09323160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.637557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58483 KachelY 36061 -0.33809895 1.09323160 -19.371643 62.637557
    Oben rechts KachelX + 1 58484 KachelY 36061 -0.33805102 1.09323160 -19.368897 62.637557
    Unten links KachelX 58483 KachelY + 1 36062 -0.33809895 1.09320957 -19.371643 62.636294
    Unten rechts KachelX + 1 58484 KachelY + 1 36062 -0.33805102 1.09320957 -19.368897 62.636294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09323160-1.09320957) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09323160-1.09320957) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(1.09323160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459617733405192 × 6371000     		do = 140.349804096694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33809895--0.33805102) × cos(1.09320957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459637298507864 × 6371000     		du = 140.355778536163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09323160)-sin(1.09320957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459617733405192-0.459637298507864)×R²
    abs(-0.33805102--0.33809895)×1.95651026714261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95651026714261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95651026714261e-05×40589641000000     		ar = 19698.9535662359m²