Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58482 / 35919
↖ ↑ ↗
← N 62.816274°
W 19.374390°		 ← 139.53 m → N 62.816274°
W 19.371643°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
N 62.815019°
W 19.374390°		 ← 139.54 m →
19 469 m²		 N 62.815019°
W 19.371643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446186065673828 y=0.274044036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446186065673828 × 217)
    floor (0.446186065673828 × 131072)
    floor (58482.5)     		tx = 58482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274044036865234 × 217)
    floor (0.274044036865234 × 131072)
    floor (35919.5)     		ty = 35919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58482 / 35919 ti = "17/58482/35919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58482/35919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58482 ÷ 217
    58482 ÷ 131072     		x = 0.446182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35919 ÷ 217
    35919 ÷ 131072     		y = 0.274040222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446182250976562 × 2 - 1) × π
    -0.107635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33814689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274040222167969 × 2 - 1) × π
    0.451919555664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.4197471560472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33814689} λ = -0.33814689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4197471560472))-π/2
    2×atan(4.13607452659813)-π/2
    2×1.33357356232456-π/2
    2.66714712464912-1.57079632675     		φ = 1.09635080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33814689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.374390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09635080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.816274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58482 KachelY 35919 -0.33814689 1.09635080 -19.374390 62.816274
    Oben rechts KachelX + 1 58483 KachelY 35919 -0.33809895 1.09635080 -19.371643 62.816274
    Unten links KachelX 58482 KachelY + 1 35920 -0.33814689 1.09632890 -19.374390 62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 58483 KachelY + 1 35920 -0.33809895 1.09632890 -19.371643 62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09635080-1.09632890) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dl = 139.524899999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09635080-1.09632890) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dr = 139.524899999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33814689--0.33809895) × cos(1.09635080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456845287916401 × 6371000     		do = 139.532310127288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33814689--0.33809895) × cos(1.09632890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 139.538260111316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09635080)-sin(1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456845287916401-0.456864768867899)×R²
    abs(-0.33809895--0.33814689)×1.94809514979521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94809514979521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94809514979521e-05×40589641000000     		ar = 19468.6467034852m²