Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58480 / 86189
↖ ↑ ↗
← S 49.233741°
W 19.379883°		 ← 199.39 m → S 49.233741°
W 19.377136°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
S 49.235534°
W 19.379883°		 ← 199.39 m →
39 761 m²		 S 49.235534°
W 19.377136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446170806884766 y=0.657573699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446170806884766 × 217)
    floor (0.446170806884766 × 131072)
    floor (58480.5)     		tx = 58480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657573699951172 × 217)
    floor (0.657573699951172 × 131072)
    floor (86189.5)     		ty = 86189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58480 / 86189 ti = "17/58480/86189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58480/86189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58480 ÷ 217
    58480 ÷ 131072     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86189 ÷ 217
    86189 ÷ 131072     		y = 0.657569885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657569885253906 × 2 - 1) × π
    -0.315139770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.99004078785302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99004078785302))-π/2
    2×atan(0.371561535515669)-π/2
    2×0.35575272356714-π/2
    0.711505447134281-1.57079632675     		φ = -0.85929088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85929088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.233741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58480 KachelY 86189 -0.33824276 -0.85929088 -19.379883 -49.233741
    Oben rechts KachelX + 1 58481 KachelY 86189 -0.33819483 -0.85929088 -19.377136 -49.233741
    Unten links KachelX 58480 KachelY + 1 86190 -0.33824276 -0.85932218 -19.379883 -49.235534
    Unten rechts KachelX + 1 58481 KachelY + 1 86190 -0.33819483 -0.85932218 -19.377136 -49.235534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85929088--0.85932218) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85929088--0.85932218) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33819483) × cos(-0.85929088) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652974705397747 × 6371000     		do = 199.393681578799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33819483) × cos(-0.85932218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652950999092785 × 6371000     		du = 199.386442573392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85929088)-sin(-0.85932218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652974705397747-0.652950999092785)×R²
    abs(-0.33819483--0.33824276)×2.37063049614017e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37063049614017e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37063049614017e-05×40589641000000     		ar = 39760.8308790923m²