Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58479 / 86193
↖ ↑ ↗
← S 49.240914°
W 19.382629°		 ← 199.41 m → S 49.240914°
W 19.379883°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
S 49.242707°
W 19.382629°		 ← 199.40 m →
39 751 m²		 S 49.242707°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446163177490234 y=0.657604217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446163177490234 × 217)
    floor (0.446163177490234 × 131072)
    floor (58479.5)     		tx = 58479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657604217529297 × 217)
    floor (0.657604217529297 × 131072)
    floor (86193.5)     		ty = 86193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58479 / 86193 ti = "17/58479/86193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58479/86193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58479 ÷ 217
    58479 ÷ 131072     		x = 0.446159362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86193 ÷ 217
    86193 ÷ 131072     		y = 0.657600402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446159362792969 × 2 - 1) × π
    -0.107681274414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33829070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657600402832031 × 2 - 1) × π
    -0.315200805664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.9902325354515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33829070} λ = -0.33829070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9902325354515))-π/2
    2×atan(0.371490296313738)-π/2
    2×0.355690124947041-π/2
    0.711380249894081-1.57079632675     		φ = -0.85941608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33829070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.382629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85941608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.240914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58479 KachelY 86193 -0.33829070 -0.85941608 -19.382629 -49.240914
    Oben rechts KachelX + 1 58480 KachelY 86193 -0.33824276 -0.85941608 -19.379883 -49.240914
    Unten links KachelX 58479 KachelY + 1 86194 -0.33829070 -0.85944737 -19.382629 -49.242707
    Unten rechts KachelX + 1 58480 KachelY + 1 86194 -0.33824276 -0.85944737 -19.379883 -49.242707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85941608--0.85944737) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dl = 199.348590000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85941608--0.85944737) × R
    3.12900000000171e-05 × 6371000     		dr = 199.348590000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33829070--0.33824276) × cos(-0.85941608) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652879876339857 × 6371000     		do = 199.406319362309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33829070--0.33824276) × cos(-0.85944737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		du = 199.399080378651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85941608)-sin(-0.85944737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652879876339857-0.652856175051096)×R²
    abs(-0.33824276--0.33829070)×2.37012887612797e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37012887612797e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37012887612797e-05×40589641000000     		ar = 39750.647064712m²