Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58477 / 36075
↖ ↑ ↗
← N 62.619879°
W 19.388122°		 ← 140.43 m → N 62.619879°
W 19.385376°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
N 62.618615°
W 19.388122°		 ← 140.44 m →
19 729 m²		 N 62.618615°
W 19.385376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446147918701172 y=0.275234222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446147918701172 × 217)
    floor (0.446147918701172 × 131072)
    floor (58477.5)     		tx = 58477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275234222412109 × 217)
    floor (0.275234222412109 × 131072)
    floor (36075.5)     		ty = 36075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58477 / 36075 ti = "17/58477/36075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58477/36075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58477 ÷ 217
    58477 ÷ 131072     		x = 0.446144104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36075 ÷ 217
    36075 ÷ 131072     		y = 0.275230407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446144104003906 × 2 - 1) × π
    -0.107711791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33838657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275230407714844 × 2 - 1) × π
    0.449539184570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.41226899970647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33838657} λ = -0.33838657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41226899970647))-π/2
    2×atan(4.10525967738564)-π/2
    2×1.33185969125687-π/2
    2.66371938251373-1.57079632675     		φ = 1.09292306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33838657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.388122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09292306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.619879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58477 KachelY 36075 -0.33838657 1.09292306 -19.388122 62.619879
    Oben rechts KachelX + 1 58478 KachelY 36075 -0.33833864 1.09292306 -19.385376 62.619879
    Unten links KachelX 58477 KachelY + 1 36076 -0.33838657 1.09290101 -19.388122 62.618615
    Unten rechts KachelX + 1 58478 KachelY + 1 36076 -0.33833864 1.09290101 -19.385376 62.618615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09292306-1.09290101) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09292306-1.09290101) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33838657--0.33833864) × cos(1.09292306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.459891731096625 × 6371000     		do = 140.433472587803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33838657--0.33833864) × cos(1.09290101) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.459911310833511 × 6371000     		du = 140.439451496005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09292306)-sin(1.09290101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459891731096625-0.459911310833511)×R²
    abs(-0.33833864--0.33838657)×1.95797368864881e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95797368864881e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95797368864881e-05×40589641000000     		ar = 19728.5914282532m²