Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58477 / 29689
↖ ↑ ↗
← N 69.663769°
W 19.388122°		 ← 106.12 m → N 69.663769°
W 19.385376°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 69.662815°
W 19.388122°		 ← 106.13 m →
11 264 m²		 N 69.662815°
W 19.385376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446147918701172 y=0.226512908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446147918701172 × 217)
    floor (0.446147918701172 × 131072)
    floor (58477.5)     		tx = 58477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226512908935547 × 217)
    floor (0.226512908935547 × 131072)
    floor (29689.5)     		ty = 29689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58477 / 29689 ti = "17/58477/29689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58477/29689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58477 ÷ 217
    58477 ÷ 131072     		x = 0.446144104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29689 ÷ 217
    29689 ÷ 131072     		y = 0.226509094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446144104003906 × 2 - 1) × π
    -0.107711791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33838657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226509094238281 × 2 - 1) × π
    0.546981811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.71839404068015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33838657} λ = -0.33838657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71839404068015))-π/2
    2×atan(5.5755671364319)-π/2
    2×1.39332923203005-π/2
    2.78665846406009-1.57079632675     		φ = 1.21586214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33838657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.388122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21586214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.663769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58477 KachelY 29689 -0.33838657 1.21586214 -19.388122 69.663769
    Oben rechts KachelX + 1 58478 KachelY 29689 -0.33833864 1.21586214 -19.385376 69.663769
    Unten links KachelX 58477 KachelY + 1 29690 -0.33838657 1.21584548 -19.388122 69.662815
    Unten rechts KachelX + 1 58478 KachelY + 1 29690 -0.33833864 1.21584548 -19.385376 69.662815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21586214-1.21584548) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21586214-1.21584548) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33838657--0.33833864) × cos(1.21586214) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347528654962373 × 6371000     		do = 106.122055562422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33838657--0.33833864) × cos(1.21584548) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347544276485728 × 6371000     		du = 106.126825782505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21586214)-sin(1.21584548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347528654962373-0.347544276485728)×R²
    abs(-0.33833864--0.33838657)×1.56215233546586e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.56215233546586e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.56215233546586e-05×40589641000000     		ar = 11264.1394002572m²