Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58475 / 36118
↖ ↑ ↗
← N 62.565514°
W 19.393616°		 ← 140.72 m → N 62.565514°
W 19.390869°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 62.564248°
W 19.393616°		 ← 140.73 m →
19 805 m²		 N 62.564248°
W 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446132659912109 y=0.275562286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446132659912109 × 217)
    floor (0.446132659912109 × 131072)
    floor (58475.5)     		tx = 58475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275562286376953 × 217)
    floor (0.275562286376953 × 131072)
    floor (36118.5)     		ty = 36118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58475 / 36118 ti = "17/58475/36118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58475/36118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58475 ÷ 217
    58475 ÷ 131072     		x = 0.446128845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36118 ÷ 217
    36118 ÷ 131072     		y = 0.275558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446128845214844 × 2 - 1) × π
    -0.107742309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33848245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275558471679688 × 2 - 1) × π
    0.448883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41020771302281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33848245} λ = -0.33848245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41020771302281))-π/2
    2×atan(4.09680627571496)-π/2
    2×1.33138527292508-π/2
    2.66277054585017-1.57079632675     		φ = 1.09197422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33848245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.393616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09197422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.565514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58475 KachelY 36118 -0.33848245 1.09197422 -19.393616 62.565514
    Oben rechts KachelX + 1 58476 KachelY 36118 -0.33843451 1.09197422 -19.390869 62.565514
    Unten links KachelX 58475 KachelY + 1 36119 -0.33848245 1.09195213 -19.393616 62.564248
    Unten rechts KachelX + 1 58476 KachelY + 1 36119 -0.33843451 1.09195213 -19.390869 62.564248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09197422-1.09195213) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dl = 140.735390000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09197422-1.09195213) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dr = 140.735390000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33848245--0.33843451) × cos(1.09197422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460734070146916 × 6371000     		do = 140.720044317742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33848245--0.33843451) × cos(1.09195213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46075367575409 × 6371000     		du = 140.726032374821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09197422)-sin(1.09195213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460734070146916-0.46075367575409)×R²
    abs(-0.33843451--0.33848245)×1.96056071732342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96056071732342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96056071732342e-05×40589641000000     		ar = 19804.7116845835m²