Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58474 / 86675
↖ ↑ ↗
← S 50.097679°
W 19.396363°		 ← 195.92 m → S 50.097679°
W 19.393616°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
S 50.099441°
W 19.396363°		 ← 195.92 m →
38 383 m²		 S 50.099441°
W 19.393616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446125030517578 y=0.661281585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446125030517578 × 217)
    floor (0.446125030517578 × 131072)
    floor (58474.5)     		tx = 58474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661281585693359 × 217)
    floor (0.661281585693359 × 131072)
    floor (86675.5)     		ty = 86675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58474 / 86675 ti = "17/58474/86675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58474/86675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58474 ÷ 217
    58474 ÷ 131072     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86675 ÷ 217
    86675 ÷ 131072     		y = 0.661277770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661277770996094 × 2 - 1) × π
    -0.322555541992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.01333812106837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01333812106837))-π/2
    2×atan(0.363005199521796)-π/2
    2×0.34821343910073-π/2
    0.69642687820146-1.57079632675     		φ = -0.87436945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87436945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.097679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58474 KachelY 86675 -0.33853039 -0.87436945 -19.396363 -50.097679
    Oben rechts KachelX + 1 58475 KachelY 86675 -0.33848245 -0.87436945 -19.393616 -50.097679
    Unten links KachelX 58474 KachelY + 1 86676 -0.33853039 -0.87440020 -19.396363 -50.099441
    Unten rechts KachelX + 1 58475 KachelY + 1 86676 -0.33848245 -0.87440020 -19.393616 -50.099441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87436945--0.87440020) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87436945--0.87440020) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(-0.87436945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641480705258565 × 6371000     		do = 195.924719099417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(-0.87440020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		du = 195.9175141573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87436945)-sin(-0.87440020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641480705258565-0.641457115425838)×R²
    abs(-0.33848245--0.33853039)×2.35898327264339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35898327264339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35898327264339e-05×40589641000000     		ar = 38382.5630996038m²