Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58474 / 29669
↖ ↑ ↗
← N 69.682851°
W 19.396363°		 ← 106.05 m → N 69.682851°
W 19.393616°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 69.681897°
W 19.396363°		 ← 106.05 m →
11 250 m²		 N 69.681897°
W 19.393616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446125030517578 y=0.226360321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446125030517578 × 217)
    floor (0.446125030517578 × 131072)
    floor (58474.5)     		tx = 58474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226360321044922 × 217)
    floor (0.226360321044922 × 131072)
    floor (29669.5)     		ty = 29669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58474 / 29669 ti = "17/58474/29669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58474/29669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58474 ÷ 217
    58474 ÷ 131072     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29669 ÷ 217
    29669 ÷ 131072     		y = 0.226356506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226356506347656 × 2 - 1) × π
    0.547286987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.71935277867255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71935277867255))-π/2
    2×atan(5.58091520776471)-π/2
    2×1.39349575163063-π/2
    2.78699150326126-1.57079632675     		φ = 1.21619518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21619518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.682851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58474 KachelY 29669 -0.33853039 1.21619518 -19.396363 69.682851
    Oben rechts KachelX + 1 58475 KachelY 29669 -0.33848245 1.21619518 -19.393616 69.682851
    Unten links KachelX 58474 KachelY + 1 29670 -0.33853039 1.21617853 -19.396363 69.681897
    Unten rechts KachelX + 1 58475 KachelY + 1 29670 -0.33848245 1.21617853 -19.393616 69.681897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21619518-1.21617853) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dl = 106.077149998983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21619518-1.21617853) × R
    1.66499999998404e-05 × 6371000     		dr = 106.077149998983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(1.21619518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347216354290369 × 6371000     		do = 106.048811949291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(1.21617853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347231968363352 × 6371000     		du = 106.053580889087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21619518)-sin(1.21617853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347216354290369-0.347231968363352)×R²
    abs(-0.33848245--0.33853039)×1.56140729829501e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56140729829501e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56140729829501e-05×40589641000000     		ar = 11249.6086705106m²