Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58474 / 29667
↖ ↑ ↗
← N 69.684758°
W 19.396363°		 ← 106.04 m → N 69.684758°
W 19.393616°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 69.683804°
W 19.396363°		 ← 106.04 m →
11 242 m²		 N 69.683804°
W 19.393616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446125030517578 y=0.226345062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446125030517578 × 217)
    floor (0.446125030517578 × 131072)
    floor (58474.5)     		tx = 58474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226345062255859 × 217)
    floor (0.226345062255859 × 131072)
    floor (29667.5)     		ty = 29667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58474 / 29667 ti = "17/58474/29667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58474/29667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58474 ÷ 217
    58474 ÷ 131072     		x = 0.446121215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29667 ÷ 217
    29667 ÷ 131072     		y = 0.226341247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    -0.107757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33853039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226341247558594 × 2 - 1) × π
    0.547317504882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.71944865247179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33853039} λ = -0.33853039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71944865247179))-π/2
    2×atan(5.58145029695903)-π/2
    2×1.39351239535808-π/2
    2.78702479071617-1.57079632675     		φ = 1.21622846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33853039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.396363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21622846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.684758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58474 KachelY 29667 -0.33853039 1.21622846 -19.396363 69.684758
    Oben rechts KachelX + 1 58475 KachelY 29667 -0.33848245 1.21622846 -19.393616 69.684758
    Unten links KachelX 58474 KachelY + 1 29668 -0.33853039 1.21621182 -19.396363 69.683804
    Unten rechts KachelX + 1 58475 KachelY + 1 29668 -0.33848245 1.21621182 -19.393616 69.683804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21622846-1.21621182) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21622846-1.21621182) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(1.21622846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347185144611571 × 6371000     		do = 106.039279710049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33853039--0.33848245) × cos(1.21621182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347200749499038 × 6371000     		du = 106.044045844352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21622846)-sin(1.21621182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347185144611571-0.347200749499038)×R²
    abs(-0.33848245--0.33853039)×1.56048874671022e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56048874671022e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56048874671022e-05×40589641000000     		ar = 11241.8414545415m²