Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58473 / 36120
↖ ↑ ↗
← N 62.562983°
W 19.399109°		 ← 140.70 m → N 62.562983°
W 19.396363°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
N 62.561718°
W 19.399109°		 ← 140.71 m →
19 793 m²		 N 62.561718°
W 19.396363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446117401123047 y=0.275577545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446117401123047 × 217)
    floor (0.446117401123047 × 131072)
    floor (58473.5)     		tx = 58473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275577545166016 × 217)
    floor (0.275577545166016 × 131072)
    floor (36120.5)     		ty = 36120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58473 / 36120 ti = "17/58473/36120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58473/36120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58473 ÷ 217
    58473 ÷ 131072     		x = 0.446113586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36120 ÷ 217
    36120 ÷ 131072     		y = 0.27557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446113586425781 × 2 - 1) × π
    -0.107772827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33857832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27557373046875 × 2 - 1) × π
    0.4488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41011183922357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33857832} λ = -0.33857832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41011183922357))-π/2
    2×atan(4.09641351816044)-π/2
    2×1.33136318582248-π/2
    2.66272637164495-1.57079632675     		φ = 1.09193004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33857832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.399109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09193004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.562983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58473 KachelY 36120 -0.33857832 1.09193004 -19.399109 62.562983
    Oben rechts KachelX + 1 58474 KachelY 36120 -0.33853039 1.09193004 -19.396363 62.562983
    Unten links KachelX 58473 KachelY + 1 36121 -0.33857832 1.09190796 -19.399109 62.561718
    Unten rechts KachelX + 1 58474 KachelY + 1 36121 -0.33853039 1.09190796 -19.396363 62.561718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09193004-1.09190796) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dl = 140.671680000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09193004-1.09190796) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dr = 140.671680000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.09193004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.460773281136429 × 6371000     		do = 140.702664497504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.09190796) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.46079287741885 × 6371000     		du = 140.708648458084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09193004)-sin(1.09190796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460773281136429-0.46079287741885)×R²
    abs(-0.33853039--0.33857832)×1.95962824204865e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95962824204865e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95962824204865e-05×40589641000000     		ar = 19793.3010831994m²