Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58473 / 29675
↖ ↑ ↗
← N 69.677128°
W 19.399109°		 ← 106.06 m → N 69.677128°
W 19.396363°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
N 69.676174°
W 19.399109°		 ← 106.06 m →
11 250 m²		 N 69.676174°
W 19.396363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446117401123047 y=0.226406097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446117401123047 × 217)
    floor (0.446117401123047 × 131072)
    floor (58473.5)     		tx = 58473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226406097412109 × 217)
    floor (0.226406097412109 × 131072)
    floor (29675.5)     		ty = 29675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58473 / 29675 ti = "17/58473/29675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58473/29675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58473 ÷ 217
    58473 ÷ 131072     		x = 0.446113586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29675 ÷ 217
    29675 ÷ 131072     		y = 0.226402282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446113586425781 × 2 - 1) × π
    -0.107772827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33857832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226402282714844 × 2 - 1) × π
    0.547195434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71906515727483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33857832} λ = -0.33857832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71906515727483))-π/2
    2×atan(5.57931024795356)-π/2
    2×1.39344581146886-π/2
    2.78689162293773-1.57079632675     		φ = 1.21609530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33857832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.399109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21609530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.677128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58473 KachelY 29675 -0.33857832 1.21609530 -19.399109 69.677128
    Oben rechts KachelX + 1 58474 KachelY 29675 -0.33853039 1.21609530 -19.396363 69.677128
    Unten links KachelX 58473 KachelY + 1 29676 -0.33857832 1.21607865 -19.399109 69.676174
    Unten rechts KachelX + 1 58474 KachelY + 1 29676 -0.33853039 1.21607865 -19.396363 69.676174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21609530-1.21607865) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dl = 106.077150000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21609530-1.21607865) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dr = 106.077150000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.21609530) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347310018529266 × 6371000     		do = 106.055292297376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.21607865) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.347325632024737 × 6371000     		du = 106.060060066049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21609530)-sin(1.21607865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347310018529266-0.347325632024737)×R²
    abs(-0.33853039--0.33857832)×1.56134954708009e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.56134954708009e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.56134954708009e-05×40589641000000     		ar = 11250.2960252083m²