Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58473 / 28425
↖ ↑ ↗
← N 70.836560°
W 19.399109°		 ← 100.24 m → N 70.836560°
W 19.396363°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
N 70.835658°
W 19.399109°		 ← 100.24 m →
10 052 m²		 N 70.835658°
W 19.396363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446117401123047 y=0.216869354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446117401123047 × 217)
    floor (0.446117401123047 × 131072)
    floor (58473.5)     		tx = 58473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216869354248047 × 217)
    floor (0.216869354248047 × 131072)
    floor (28425.5)     		ty = 28425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58473 / 28425 ti = "17/58473/28425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58473/28425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58473 ÷ 217
    58473 ÷ 131072     		x = 0.446113586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28425 ÷ 217
    28425 ÷ 131072     		y = 0.216865539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446113586425781 × 2 - 1) × π
    -0.107772827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33857832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216865539550781 × 2 - 1) × π
    0.566268920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.7789862817999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33857832} λ = -0.33857832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7789862817999))-π/2
    2×atan(5.92384826101951)-π/2
    2×1.40356376348959-π/2
    2.80712752697917-1.57079632675     		φ = 1.23633120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33857832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.399109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23633120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.836560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58473 KachelY 28425 -0.33857832 1.23633120 -19.399109 70.836560
    Oben rechts KachelX + 1 58474 KachelY 28425 -0.33853039 1.23633120 -19.396363 70.836560
    Unten links KachelX 58473 KachelY + 1 28426 -0.33857832 1.23631546 -19.399109 70.835658
    Unten rechts KachelX + 1 58474 KachelY + 1 28426 -0.33853039 1.23631546 -19.396363 70.835658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23633120-1.23631546) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23633120-1.23631546) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.23633120) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.328263983100066 × 6371000     		do = 100.239356255267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33857832--0.33853039) × cos(1.23631546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.328278850843425 × 6371000     		du = 100.243896299561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23633120)-sin(1.23631546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328263983100066-0.328278850843425)×R²
    abs(-0.33853039--0.33857832)×1.48677433594036e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.48677433594036e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.48677433594036e-05×40589641000000     		ar = 10052.1841722506m²