Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58472 / 86696
↖ ↑ ↗
← S 50.134664°
W 19.401856°		 ← 195.77 m → S 50.134664°
W 19.399109°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 50.136425°
W 19.401856°		 ← 195.77 m →
38 328 m²		 S 50.136425°
W 19.399109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446109771728516 y=0.661441802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446109771728516 × 217)
    floor (0.446109771728516 × 131072)
    floor (58472.5)     		tx = 58472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661441802978516 × 217)
    floor (0.661441802978516 × 131072)
    floor (86696.5)     		ty = 86696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58472 / 86696 ti = "17/58472/86696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58472/86696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58472 ÷ 217
    58472 ÷ 131072     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86696 ÷ 217
    86696 ÷ 131072     		y = 0.66143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01434479596039))-π/2
    2×atan(0.362639955173766)-π/2
    2×0.347890682504768-π/2
    0.695781365009536-1.57079632675     		φ = -0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58472 KachelY 86696 -0.33862626 -0.87501496 -19.401856 -50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 58473 KachelY 86696 -0.33857832 -0.87501496 -19.399109 -50.134664
    Unten links KachelX 58472 KachelY + 1 86697 -0.33862626 -0.87504569 -19.401856 -50.136425
    Unten rechts KachelX + 1 58473 KachelY + 1 86697 -0.33857832 -0.87504569 -19.399109 -50.136425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87501496--0.87504569) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87501496--0.87504569) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33857832) × cos(-0.87501496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 195.773432684369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33857832) × cos(-0.87504569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640961788431655 × 6371000     		du = 195.76622854356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87501496)-sin(-0.87504569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.640961788431655)×R²
    abs(-0.33857832--0.33862626)×2.35872091487455e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35872091487455e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35872091487455e-05×40589641000000     		ar = 38327.9799295486m²