Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58470 / 35948
↖ ↑ ↗
← N 62.779863°
W 19.407348°		 ← 139.68 m → N 62.779863°
W 19.404602°		 →
↑
139.65 m
↓
↑
139.65 m
↓
N 62.778607°
W 19.407348°		 ← 139.68 m →
19 506 m²		 N 62.778607°
W 19.404602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446094512939453 y=0.274265289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446094512939453 × 217)
    floor (0.446094512939453 × 131072)
    floor (58470.5)     		tx = 58470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274265289306641 × 217)
    floor (0.274265289306641 × 131072)
    floor (35948.5)     		ty = 35948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58470 / 35948 ti = "17/58470/35948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58470/35948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58470 ÷ 217
    58470 ÷ 131072     		x = 0.446090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35948 ÷ 217
    35948 ÷ 131072     		y = 0.274261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446090698242188 × 2 - 1) × π
    -0.107818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33872213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274261474609375 × 2 - 1) × π
    0.45147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41835698595822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33872213} λ = -0.33872213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41835698595822))-π/2
    2×atan(4.13032867428682)-π/2
    2×1.33325581959423-π/2
    2.66651163918847-1.57079632675     		φ = 1.09571531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33872213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.407348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09571531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.779863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58470 KachelY 35948 -0.33872213 1.09571531 -19.407348 62.779863
    Oben rechts KachelX + 1 58471 KachelY 35948 -0.33867420 1.09571531 -19.404602 62.779863
    Unten links KachelX 58470 KachelY + 1 35949 -0.33872213 1.09569339 -19.407348 62.778607
    Unten rechts KachelX + 1 58471 KachelY + 1 35949 -0.33867420 1.09569339 -19.404602 62.778607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09571531-1.09569339) × R
    2.19200000000086e-05 × 6371000     		dl = 139.652320000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09571531-1.09569339) × R
    2.19200000000086e-05 × 6371000     		dr = 139.652320000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33872213--0.33867420) × cos(1.09571531) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457410493323986 × 6371000     		do = 139.675796784799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33872213--0.33867420) × cos(1.09569339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457429985698307 × 6371000     		du = 139.681749015792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09571531)-sin(1.09569339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457410493323986-0.457429985698307)×R²
    abs(-0.33867420--0.33872213)×1.94923743207509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94923743207509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94923743207509e-05×40589641000000     		ar = 19506.4646911029m²