Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58469 / 36121
↖ ↑ ↗
← N 62.561718°
W 19.410095°		 ← 140.74 m → N 62.561718°
W 19.407348°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 62.560452°
W 19.410095°		 ← 140.74 m →
19 807 m²		 N 62.560452°
W 19.407348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446086883544922 y=0.275585174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446086883544922 × 217)
    floor (0.446086883544922 × 131072)
    floor (58469.5)     		tx = 58469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275585174560547 × 217)
    floor (0.275585174560547 × 131072)
    floor (36121.5)     		ty = 36121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58469 / 36121 ti = "17/58469/36121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58469/36121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58469 ÷ 217
    58469 ÷ 131072     		x = 0.446083068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36121 ÷ 217
    36121 ÷ 131072     		y = 0.275581359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446083068847656 × 2 - 1) × π
    -0.107833862304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33877007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275581359863281 × 2 - 1) × π
    0.448837280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.41006390232395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33877007} λ = -0.33877007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41006390232395))-π/2
    2×atan(4.09621715350341)-π/2
    2×1.33135214156638-π/2
    2.66270428313276-1.57079632675     		φ = 1.09190796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33877007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.410095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09190796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.561718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58469 KachelY 36121 -0.33877007 1.09190796 -19.410095 62.561718
    Oben rechts KachelX + 1 58470 KachelY 36121 -0.33872213 1.09190796 -19.407348 62.561718
    Unten links KachelX 58469 KachelY + 1 36122 -0.33877007 1.09188587 -19.410095 62.560452
    Unten rechts KachelX + 1 58470 KachelY + 1 36122 -0.33872213 1.09188587 -19.407348 62.560452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09190796-1.09188587) × R
    2.20899999998636e-05 × 6371000     		dl = 140.735389999131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09190796-1.09188587) × R
    2.20899999998636e-05 × 6371000     		dr = 140.735389999131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33877007--0.33872213) × cos(1.09190796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46079287741885 × 6371000     		do = 140.738005572289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33877007--0.33872213) × cos(1.09188587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460812482351597 × 6371000     		du = 140.743993423381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09190796)-sin(1.09188587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46079287741885-0.460812482351597)×R²
    abs(-0.33872213--0.33877007)×1.96049327468306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96049327468306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96049327468306e-05×40589641000000     		ar = 19807.2394538529m²