Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58468 / 29651
↖ ↑ ↗
← N 69.700010°
W 19.412842°		 ← 105.96 m → N 69.700010°
W 19.410095°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 69.699056°
W 19.412842°		 ← 105.97 m →
11 234 m²		 N 69.699056°
W 19.410095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446079254150391 y=0.226222991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446079254150391 × 217)
    floor (0.446079254150391 × 131072)
    floor (58468.5)     		tx = 58468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226222991943359 × 217)
    floor (0.226222991943359 × 131072)
    floor (29651.5)     		ty = 29651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58468 / 29651 ti = "17/58468/29651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58468/29651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58468 ÷ 217
    58468 ÷ 131072     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29651 ÷ 217
    29651 ÷ 131072     		y = 0.226219177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226219177246094 × 2 - 1) × π
    0.547561645507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72021564286572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72021564286572))-π/2
    2×atan(5.58573285785253)-π/2
    2×1.39364549131808-π/2
    2.78729098263616-1.57079632675     		φ = 1.21649466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21649466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.700010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58468 KachelY 29651 -0.33881801 1.21649466 -19.412842 69.700010
    Oben rechts KachelX + 1 58469 KachelY 29651 -0.33877007 1.21649466 -19.410095 69.700010
    Unten links KachelX 58468 KachelY + 1 29652 -0.33881801 1.21647802 -19.412842 69.699056
    Unten rechts KachelX + 1 58469 KachelY + 1 29652 -0.33877007 1.21647802 -19.410095 69.699056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21649466-1.21647802) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21649466-1.21647802) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(1.21649466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346935490856648 × 6371000     		do = 105.963029027208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(1.21647802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346951097281477 × 6371000     		du = 105.96779563106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21649466)-sin(1.21647802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346935490856648-0.346951097281477)×R²
    abs(-0.33877007--0.33881801)×1.56064248290066e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56064248290066e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56064248290066e-05×40589641000000     		ar = 11233.757882359m²