Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58468 / 28436
↖ ↑ ↗
← N 70.826640°
W 19.412842°		 ← 100.31 m → N 70.826640°
W 19.410095°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
N 70.825738°
W 19.412842°		 ← 100.31 m →
10 059 m²		 N 70.825738°
W 19.410095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446079254150391 y=0.216953277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446079254150391 × 217)
    floor (0.446079254150391 × 131072)
    floor (58468.5)     		tx = 58468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216953277587891 × 217)
    floor (0.216953277587891 × 131072)
    floor (28436.5)     		ty = 28436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58468 / 28436 ti = "17/58468/28436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58468/28436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58468 ÷ 217
    58468 ÷ 131072     		x = 0.446075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28436 ÷ 217
    28436 ÷ 131072     		y = 0.216949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33881801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216949462890625 × 2 - 1) × π
    0.56610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77845897590408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33881801} λ = -0.33881801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77845897590408))-π/2
    2×atan(5.92072540432826)-π/2
    2×1.40347719416554-π/2
    2.80695438833109-1.57079632675     		φ = 1.23615806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33881801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.412842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23615806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.826640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58468 KachelY 28436 -0.33881801 1.23615806 -19.412842 70.826640
    Oben rechts KachelX + 1 58469 KachelY 28436 -0.33877007 1.23615806 -19.410095 70.826640
    Unten links KachelX 58468 KachelY + 1 28437 -0.33881801 1.23614232 -19.412842 70.825738
    Unten rechts KachelX + 1 58469 KachelY + 1 28437 -0.33877007 1.23614232 -19.410095 70.825738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23615806-1.23614232) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23615806-1.23614232) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(1.23615806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328427523803245 × 6371000     		do = 100.310219494024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33881801--0.33877007) × cos(1.23614232) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328442390651768 × 6371000     		du = 100.314760212236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23615806)-sin(1.23614232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328427523803245-0.328442390651768)×R²
    abs(-0.33877007--0.33881801)×1.48668485235315e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48668485235315e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48668485235315e-05×40589641000000     		ar = 10059.2903389392m²