Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58467 / 28437
↖ ↑ ↗
← N 70.825738°
W 19.415588°		 ← 100.29 m → N 70.825738°
W 19.412842°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.824835°
W 19.415588°		 ← 100.30 m →
10 064 m²		 N 70.824835°
W 19.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446071624755859 y=0.216960906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446071624755859 × 217)
    floor (0.446071624755859 × 131072)
    floor (58467.5)     		tx = 58467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216960906982422 × 217)
    floor (0.216960906982422 × 131072)
    floor (28437.5)     		ty = 28437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58467 / 28437 ti = "17/58467/28437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58467/28437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58467 ÷ 217
    58467 ÷ 131072     		x = 0.446067810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28437 ÷ 217
    28437 ÷ 131072     		y = 0.216957092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446067810058594 × 2 - 1) × π
    -0.107864379882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33886594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216957092285156 × 2 - 1) × π
    0.566085815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.77841103900446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33886594} λ = -0.33886594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77841103900446))-π/2
    2×atan(5.92044158991152)-π/2
    2×1.40346932208874-π/2
    2.80693864417749-1.57079632675     		φ = 1.23614232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33886594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.415588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23614232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.825738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58467 KachelY 28437 -0.33886594 1.23614232 -19.415588 70.825738
    Oben rechts KachelX + 1 58468 KachelY 28437 -0.33881801 1.23614232 -19.412842 70.825738
    Unten links KachelX 58467 KachelY + 1 28438 -0.33886594 1.23612657 -19.415588 70.824835
    Unten rechts KachelX + 1 58468 KachelY + 1 28438 -0.33881801 1.23612657 -19.412842 70.824835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23614232-1.23612657) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23614232-1.23612657) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33886594--0.33881801) × cos(1.23614232) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.328442390651768 × 6371000     		do = 100.293835147422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33886594--0.33881801) × cos(1.23612657) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.328457266864109 × 6371000     		du = 100.298377777821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23614232)-sin(1.23612657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328442390651768-0.328457266864109)×R²
    abs(-0.33881801--0.33886594)×1.48762123410306e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.48762123410306e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.48762123410306e-05×40589641000000     		ar = 10064.0372850796m²