Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58466 / 38175
↖ ↑ ↗
← N 59.846195°
W 19.418335°		 ← 153.42 m → N 59.846195°
W 19.415588°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 59.844815°
W 19.418335°		 ← 153.43 m →
23 538 m²		 N 59.844815°
W 19.415588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446063995361328 y=0.291255950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446063995361328 × 217)
    floor (0.446063995361328 × 131072)
    floor (58466.5)     		tx = 58466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291255950927734 × 217)
    floor (0.291255950927734 × 131072)
    floor (38175.5)     		ty = 38175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58466 / 38175 ti = "17/58466/38175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58466/38175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58466 ÷ 217
    58466 ÷ 131072     		x = 0.446060180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38175 ÷ 217
    38175 ÷ 131072     		y = 0.291252136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446060180664062 × 2 - 1) × π
    -0.107879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33891388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291252136230469 × 2 - 1) × π
    0.417495727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.31160151050436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33891388} λ = -0.33891388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31160151050436))-π/2
    2×atan(3.71211394374323)-π/2
    2×1.30765473331434-π/2
    2.61530946662867-1.57079632675     		φ = 1.04451314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33891388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.418335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04451314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.846195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58466 KachelY 38175 -0.33891388 1.04451314 -19.418335 59.846195
    Oben rechts KachelX + 1 58467 KachelY 38175 -0.33886594 1.04451314 -19.415588 59.846195
    Unten links KachelX 58466 KachelY + 1 38176 -0.33891388 1.04448906 -19.418335 59.844815
    Unten rechts KachelX + 1 58467 KachelY + 1 38176 -0.33886594 1.04448906 -19.415588 59.844815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04451314-1.04448906) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04451314-1.04448906) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33891388--0.33886594) × cos(1.04451314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5023229639836 × 6371000     		do = 153.422362993762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33891388--0.33886594) × cos(1.04448906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502343785334277 × 6371000     		du = 153.4287223702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04451314)-sin(1.04448906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5023229639836-0.502343785334277)×R²
    abs(-0.33886594--0.33891388)×2.08213506768251e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08213506768251e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08213506768251e-05×40589641000000     		ar = 23537.5771100371m²